\(\displaystyle{ J:X\ni f \mapsto \int_a^b F(x,f(x),f'(x))dx,}\)
gdzie \(\displaystyle{ F:[a,b]\times \RR^2\to\RR}\) jest odwzorowaniem klasy \(\displaystyle{ C^2}\) w pewnym zbiorze otwartym zawierającym \(\displaystyle{ [a,b]\times \RR^2}\)
2. Twierdzenie:
Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej \(\displaystyle{ J}\) jest różniczkowalny w \(\displaystyle{ X}\).
Dowód:
Dowód: Ustalmy \(\displaystyle{ f\in X}\) oraz rozważmy przyrost \(\displaystyle{ J(f+h)-J(f)}\), gdzie \(\displaystyle{ h\in X}\) oraz z \(\displaystyle{ h}\) będziemy zmierzać do zera (w sensie normy).
gdzie w przejściu \(\displaystyle{ (1)}\) zastosowaliśmy wzór Taylora z resztą Lagrange'a rzędu drugiego, oraz oznaczyliśmy kolejne zmienne funkcji \(\displaystyle{ F}\) przez \(\displaystyle{ x, y, y'}\).
A) Liniowość wynika wprost z liniowości operacji różniczkowania i całkowania.
B) Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ T}\) jest ograniczone na kuli jednostkowej. Niech więc \(\displaystyle{ h\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ ||h||\leq 1}\). Obliczamy:
dzięki temu, że \(\displaystyle{ |h(x)|\leq ||h||}\) oraz \(\displaystyle{ |h'(x)|\leq ||h||}\).
Sprawdzamy ograniczoność całki. Wystarczy to zrobić dla \(\displaystyle{ ||h||\leq 1}\), a wtedy \(\displaystyle{ |h(x)|\leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ |h'(x)|\leq 1}\). Obraz funkcji \(\displaystyle{ f\pm h}\) leży w zbiorze zwartym
\(\displaystyle{ D:=\left\{(x,y)\in\RR^2: a\leq x\leq b \wedge f(x)-1\leq y\leq f(x)+1\right\},}\)
więc ze zwartości dostajemy ograniczoność. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
3. Ustalenie oznaczeń.
Rozważmy problem z ustalonymi końcami, tzn bierzemy podprzestrzeń afiniczną
oraz przyrosty są wektorowe, punkty mogą być afiniczne. Dalej dla uproszczenia opuszczamy symbol restryckji \(\displaystyle{ J}\) do \(\displaystyle{ A}\).