- MMAP-P0-100-A-2405-arkusz.pdf
- (2.8 MiB) Pobrany 21 razy
- EMAP-P0-100-A-2405-arkusz.pdf
- (2.89 MiB) Pobrany 13 razy
Matura podstawowa z matematyki 2024
-
pesel
- Użytkownik
- Posty: 1709
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Matura podstawowa z matematyki 2024
Formuła 2023
Formuła 2015
Ostatnio zmieniony 9 maja 2024, o 06:35 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto linki do stron zewnętrznych. Dodano załączniki.
Powód: Usunięto linki do stron zewnętrznych. Dodano załączniki.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
\(\displaystyle{ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2=3 {n \choose 0} + 9 {n \choose 1} + 6 {n \choose 2}.}\)
-
41421356
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 501 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
Trzeba przyznać, że formuła 2015 trudniejsza była od formuły 2023 (oczywiście poziom obu arkuszy w tym roku to jakaś kpina).
-
Dynia5
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
Jak dojść do takiej formuły opisanej symbolami Newtona? Obracać kolejne nawiasy w wzór dwumianowy?Janusz Tracz pisze: ↑8 maja 2024, o 14:56 \(\displaystyle{ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2=3 {n \choose 0} + 9 {n \choose 1} + 6 {n \choose 2}.}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
Na różne sposoby można do tego dojść. Za każdym razem tak jak mówiłem opieram się o definicję równości wielomianów. Można zapisać prawą stronę ogólnie \(\displaystyle{ a {n \choose 0} + b {n \choose 1} + c {n \choose 2} }\) i znaleźć \(\displaystyle{ a,b,c}\) porównując wartości. Można też pamiętać wzór
Więc jak podziała na wielomian \(\displaystyle{ (3,6,3)^{\top}}\) (to jest \(\displaystyle{ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2}\)) to dostaniemy \(\displaystyle{ (3,9,6)^{\top}}\) czyli prawą stronę.
https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number#As_change_of_basis_coefficients
\(\displaystyle{ x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}k!{\binom {x}{k}},}\)
który w zasadzie mówi jak wygląda zamiana bazy \(\displaystyle{ \left\{ 1,x,x^2,\dots\right\}}\) wielomianów na bazę \(\displaystyle{ \left\{ {x \choose 0}, {x \choose 1}, {x \choose 2},\dots \right\} }\). Taka macierz w przypadku \(\displaystyle{ \RR_{ \le 2}[X]}\) to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 0& 0 \\ 0 & 1& 1 \\ 0& 0& 2 \end{bmatrix} }\)
Więc jak podziała na wielomian \(\displaystyle{ (3,6,3)^{\top}}\) (to jest \(\displaystyle{ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2}\)) to dostaniemy \(\displaystyle{ (3,9,6)^{\top}}\) czyli prawą stronę.
Ostatnio zmieniony 10 maja 2024, o 06:29 przez admin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Usunięto aktywny link do strony zewnętrznej!
Powód: Usunięto aktywny link do strony zewnętrznej!
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
Szczególnym przypadkiem ogólnej nierówności Hölder
\(\displaystyle{ \Big\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\Big\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}}\) jest nierówność
Rozwiązanie zadania 31 (przy dodatkowym założeniu, że \(\displaystyle{ x,y}\) są jednego znaku) jest teraz jasne. Istotnie
Gdy, \(\displaystyle{ x,y}\) są różnych znaków to wyrażenie \(\displaystyle{ (3x+y)(3y+x) - 16xy}\) daje się zwinąć do pełnego kwadratu, mianowicie \(\displaystyle{ 3(x-y)^2}\). Więc też działa.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_H%C3%B6ldera#Uog%C3%B3lnienie\(\displaystyle{ \Big\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\Big\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}}\) jest nierówność
\(\displaystyle{
\begin{split}
\prod_{k=1}^{n} \sqrt[n]{a_k^n+b_k^n} & =\prod _{k=1}^{n} \| \left( a_k,b_k\right) \|_{\displaystyle L^{n}(\NN)} \\
& \ge \Big\| \Big( \prod_{k=1}^{n} a_k,\prod_{k=1}^{n} b_k \Big) \Big\|_{\displaystyle L^{1}(\NN)} = \prod_{k=1}^na_k + \prod_{k=1}^nb_k.
\end{split}
}\)
Co innymi słowy oznacza, że
\begin{split}
\prod_{k=1}^{n} \sqrt[n]{a_k^n+b_k^n} & =\prod _{k=1}^{n} \| \left( a_k,b_k\right) \|_{\displaystyle L^{n}(\NN)} \\
& \ge \Big\| \Big( \prod_{k=1}^{n} a_k,\prod_{k=1}^{n} b_k \Big) \Big\|_{\displaystyle L^{1}(\NN)} = \prod_{k=1}^na_k + \prod_{k=1}^nb_k.
\end{split}
}\)
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^n(a_k+b_k)\geq\Bigg(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^na_k}+\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nb_k} \, \Bigg)^n.}\)
ciekawostka:
\(\displaystyle{
(3x+y)(3y+x)= xy \left( 3+ \frac{x}{y} \right) \left( 3+ \frac{y}{x} \right) \ge xy\left( \sqrt{3^2} + \sqrt{ \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} } \right)^2 = 16xy.
}\)
(3x+y)(3y+x)= xy \left( 3+ \frac{x}{y} \right) \left( 3+ \frac{y}{x} \right) \ge xy\left( \sqrt{3^2} + \sqrt{ \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} } \right)^2 = 16xy.
}\)
Gdy, \(\displaystyle{ x,y}\) są różnych znaków to wyrażenie \(\displaystyle{ (3x+y)(3y+x) - 16xy}\) daje się zwinąć do pełnego kwadratu, mianowicie \(\displaystyle{ 3(x-y)^2}\). Więc też działa.
Ostatnio zmieniony 10 maja 2024, o 06:28 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto aktywny link do strony zewnętrznej!
Powód: Usunięto aktywny link do strony zewnętrznej!
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 673
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 209 razy
Re: Matura podstawowa z matematyki 2024
Wybiórcze statystyki:
Z protokołów mojej podkomisji: \(384\) arkusze maturalne poziomu podstawowego ze szkól powiatów: przasnyskiego, wyszkowskiego, radomskiego; \(10\) zadań otwartych - \(21\) pkt.
Z protokołów mojej podkomisji: \(384\) arkusze maturalne poziomu podstawowego ze szkól powiatów: przasnyskiego, wyszkowskiego, radomskiego; \(10\) zadań otwartych - \(21\) pkt.
- średnia: \(9,1\) pkt.
- odchylenie: \(6,3\) pkt.
- najmniej: \(0\) pkt. - \(19\) arkuszy (\(4,9\%\))
- najwięcej: \(21\) pkt. - \(16\) arkuszy (\(4,2\%\))
- mediana: \(8\) pkt. - \(27\) arkuszy (\(7,0\%\))
- dominanta: \(6\) pkt. - \(31\) arkuszy (\(8,1\%\))