szukanie zaawansowane

Funkcje kwadratowe

Funkcje kwadratowe

Jeżeli a \neq 0, to funkcje f postaci f(x) = ax^2 +bx+c nazywamy funkcją kwadratową.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie \left(p; q \right).

Funkcję kwadratową, inaczej trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci kanoniczej

y=a \left(x+\frac{b}{2a} \right)^2-\frac{\Delta}{4a},


gdzie \Delta = b^2-4ac.

Inną formą, ale tylko wizualną ;) postaci kanonicznej jest zapis

y=a \left(x-p \right)^2+q, \hspace{10} p = - \frac{b}{2a}, \hspace{5} q =  \frac{-\Delta}{4a}.


W zależności od \Delta jesteśmy w stanie także wyznaczyć postać iloczynową funkcji kwadratowej, i tak:

1. \Delta < 0

Brak postaci iloczynowej


2. \Delta = 0

y=a \left(x-x_0 \right)^2


3. \Delta > 0

y = a \left(x-x_1 \right) \left(x-x_2 \right).



Również w zależności od \Delta wyznaczamy pierwiastki rzeczywiste funkcji kwadratowej:


1. \Delta < 0

Brak pierwiastków rzeczywistych


2. \Delta = 0

Jedno podwójne miejsce zerowe

x_0 = - \frac{b}{2a}


3. \Delta > 0

x_1 =  \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, \hspace{10} x_2 =  \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.


Wzory Viete'a

Niejednokrotnie szybciej wyznaczymy pierwiastki x_1, x_2 funkcji kwadratowej ze wzorów Viete'a, i tak, przy założeniu, że \Delta \ge 0 mamy

x_1+x_2 = - \frac{b}{a}, \hspace{15} x_1 \cdot x_2 =  \frac{c}{a}.

Monotoniczność funkcji kwadratowej

dla a>0 funkcja rośnie w przedziale \left<- \frac{b}{2a}; +\infty \right), natomiast maleje w \left(-\infty;- \frac{b}{2a} \right>;

dla a<0 funkcja rośnie w przedziale \left(-\infty;- \frac{b}{2a} \right>, natomiast maleje w \left<- \frac{b}{2a}; +\infty \right).

Równania i nierówności funkcji kwadratowej

Równanie postaci ax^2+bx+c=0 gdzie a \neq 0, nazywamy równaniem kwadratowym.

Rozwiązanie równania kwadratowego sprowadza się do znalezienia pierwiastków ze wzorów podanych powyżej.

Nierówność postaci:
ax^2+bx+c>0 \\ ax^2+bx+c<0  \\ ax^2+bx+c \le 0 \\ax^2+bx+c \ge 0
gdzie a \neq 0 nazywamy nierównością kwadratową.

Nierówność kwadratową rozwiązujemy podobnie jak równanie kwadratowe, z tym, że gdy już obliczymy pierwiastki wyrażenia kwadratowego, rysujemy parabolę odpowiednio skierowaną (ku dołowi bądź górze) z której odczytujemy przedział rozwiązania.

O ile rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych jest proste, o tyle te same zadania z parametrem wydają się być trudniejsze.

Rozwiążmy sobie przykładowe zadanie.

Dla jakich wartości parametru k, pierwiastki rzeczywiste równania x^2+2(3k-1)x+3k+11=0 są liczbami przeciwnych znaków ?

Zacznijmy od tego, że musimy sprawdzić kiedy to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, a więc \Delta > 0. Otrzymujemy nierówność 9k^2-9k-10>0, której rozwiązaniem są liczby k<-\frac{2}{3} \vee k>\frac{5}{3}.

Ze wzorów Viete'a wiemy, że x_1x_2 = 3k+11, a pierwiastki są liczbami przeciwnymi, gdy x_1x_2<0  \Rightarrow 3k+11 < 0  \Leftrightarrow k<-\frac{11}{3}, co sprowadza się do ostatecznego rozwiązania postaci k\in \left( -\infty; -\frac{11}{3} \right).

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl