szukanie zaawansowane

Funkcje wielomianowe

Funkcje wielomianowe

Funkcję f określoną dla dowolnej wartości rzeczywistej x wzorem

f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0


gdzie a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0 są danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x. Jeżeli f(x) \equiv 0 ,to wielomian nazywamy wielomianem zerowym.

Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu jeśli a_n \neq 0 i \forall m \in \mathbb{N} > n\ a_m = 0 natomiast a_0 nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. Czasami przyjmuje się, że stopniem wielomianu zerowego jest -\infty

x_0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu f(x)  \Leftrightarrow  f(x_0) = 0

Działania na wielomianach

f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0 \\\\
h(x) = b_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+b_{k-2}x^{k-2}+\ldots+b_2x^2+b_1x + b_0

Dodawanie

f(x)+h(x) = (a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots + (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0)


Jak widać dodawanie wielomianów nie jest skomplikowane. Powyższy przypadek jest dla n=k Dla n>k  \vee n<k dodawanie wielomianów wygląda tak samo jak dla n=k tylko zmienia się kolejność potęg w zależności od relacji n i k


Odejmowanie

f(x)-h(x) = (a_n-b_n)x^n+(a_{n-1}-b_{n-1})x^{n-1}+\ldots + (a_2-b_2)x^2 - (a_1-b_1)x+ (a_0-b_0)


Odejmowanie wielomianów jest tak samo proste jak dodawanie. Powyższy przypadek również jest dla n=k Natomiast dla n>k  \vee n<k odejmowanie wielomianów wygląda tak samo jak dla n=k tylko zmienia się kolejność potęg w zależności od relacji n i k

Mnożenie

f(x)\cdot h(x)= (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0)(b_kx^b+a_{k-1}x^{k-1}+b_{k-2}x^{k-2}+\ldots+b_2x^2+b_1x + b_0) = \\ \\ a_nb_kx^{n+k} + (a_nb_{k-1} + a_{n-1}b_k) x^{n+k-1}+ (a_nb_{k-2}+a_{n-1}b_{k-1}+a_{n-2}b_k)x^{n+k-2}+ \\ \\ + \ldots + (a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2)x^2+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0


Powyższy wzór wygląda skomplikowanie, ale tak naprawdę jest bardzo prosty - powstał poprzez wymnożenie każdego elementu z każdym i uporządkowaniu czynników.
Stopień nowo powstałego wielomianu równy jest sumie stopni najwyższych potęg czynników, o ile oba wielomiany są różne od zera. W przeciwnym wypadku oczywiście otrzymujemy wielomian zerowy.

Dzielenie

Dla każdej pary wielomianów f(x) i h(x) \hspace{8} (h(x) \not\equiv 0) istnieje dokładnie jedna para wielomianów g(x) i r(x) taka, że f(x) = h(x)\cdot g(x) + r(x) przy czym stopień g(x)>r(x)  \vee r(x) \equiv 0

Przykład to lepiej zobrazuje

\frac{(x^3+2x^2-4x+2)}{3x^2-3}

\begin{array}{lll}
(x^3+2x^2-4x+2) & : & (3x^2-3)  =  \frac{x}{3} + \frac{2}{3} \\
\underline{-(x^3 -x)} & &  \\
\qquad 2x^2 -3x +2  & & \\
\qquad \ \ \underline{-(2x^2 +2)} & &\\
\qquad \qquad \qquad -3x+4 & & \\
\end{array}


W pierwszym kroku dzielenia, dzielimy x^3 przez 3x^2 - zostaje nam \frac{x}{3} Pod wielomianem x^3+2x^2-4x+2 piszemy znak minus i otwieramy nawias. Mnożymy \frac{x}{3} przez wielomian 3x^2-3 i wynik wpisujemy w nawias, który następnie zamykamy i odejmujemy wielomiany x^3+2x^2-4x+2 - (x^3 -x) = 2x^2-3x+2 Powtarzamy poprzedni krok dla wielomianu 2x^2-3x+2 itd...

Dzielenie wielomianu kończymy gdy stopień reszty (w tym przypadku resztą jest wielomian -3x+4 jest mniejszy od stopnia wielomianu przez który dzielimy)


Twierdzenie Bézouta

Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu f(x) przez wielomian x-a jest równa wartości f(a) wielomianu f w punkcie a

Więc szczególnie
f(a) = 0  \Leftrightarrow (x-a)|f(x)


Przykładowo
Dla jakiej wartości parametru m wielomian f(x) = 2mx^3-4x^2+2mx-m jest podzielny przez x-1 ?

x-a | f(x)  \Leftrightarrow f(a) = 0  \Rightarrow \\ x-1 | f(x)  \Leftrightarrow f(1)=0  \Leftrightarrow \\ \\ 2m-4+2m-m = 0  \Leftrightarrow 3m = 4  \Leftrightarrow \\\\ m = \frac{4}{3}


Wzory Viéte'a dla wielomianów stopnia trzeciego i czwartego

Tak jak dla funkcji kwadratowej, dla wielomianów także zostały wyznaczone wzory Viéte'a, poniżej podam wzory dla wielomianu stopnia 3 i 4.

Dla stopnia 3

Liczby x_1, x_2, x_3 są pierwiastkami wielomianu f(x) = ax^3 +bx^2+cx+d, \hspace{10} a \neq 0 \Leftrightarrow

x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a} \\ \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \frac{c}{a} \\ \\ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}


Dla stopnia 4

Liczby x_1, x_2, x_3, x_4 są pierwiastkami wielomianu f(x) = ax^4 +bx^3+cx^2+dx+e, \hspace{10} a \neq 0 \Leftrightarrow

x_1+x_2+x_3+x_4= -\frac{b}{a} \\ \\ x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4 = \frac{c}{a} \\ \\ x_1x_2x_3 + x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a} \\ \\ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}


Wzory Viéte'a dla wielomianów stopnia n

Niech x_1,x_2,\cdots,x_n będą pierwiastkami wielomianu f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \not\equiv 0 o współczynnikach rzeczywistych. Wtedy prawdziwie są wzory:

\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\
x_1x_2 + \cdots + x_1x_n + x_2x_3 + \cdots + x_2x_n + \cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\\
x_1x_2\cdots x_n = \left(-1\right)^n \frac{a_0}{a_n}\end{cases}

Twierdzenie zachodzi także dla wielomianów o współczynnikach zespolonych.


Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych

W szukaniu pierwiastków wielomianu przydatne może okazać się także twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0 są liczbami całkowitymi i liczba wymierna \frac{p}{q} będąca ułamkiem nieskracalnym jest pierwiastkiem wielomianu, to p jest dzielnikiem a_0, a q dzieli a_n


Równania wielomianowe

Jeśli x jest niewiadomą, a_n \neq 0, \hspace{5} a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0 to równanie postaci f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0=0 nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n-tego.

Rozwiązywanie równań wielomianowych sprowadza się do rozkładu wielomianu na czynniki możliwie jak najniższego stopnia, z których łatwo już wyznaczyć pierwiastki.

Przykładowo

Chcę rozwiązać równanie postaci x^3+6x^2+5x-12=0 Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych szybko znajduję, że jednym z rozwiązań tego równania jest x=1 Zostaje mi do rozwiązania równanie już tej postaci: (x-1)(x^2+7x+12)=0 gdzie korzystając ze wzorów Viete'a dla trójmianu kwadratowego szybko znajduję pozostałe pierwiastki x=-3 i x=-4. Suma summarum x =1 \vee x=-4 \vee x=-3


Nierówności wielomianowe

Jeśli f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x + a_0 to każdą z nierówności f(x)>0, \hspace{5}f(x)<0, \hspace{5}f(x) \ge 0, \hspace{5}f(x) \le 0, \hspace{5} nazywamy nierównością wielomianową stopnia n-tego.


Rozwiązywanie nierówności sprowadza się tak jak w równaniach do rozłożenia wielomianu na czynniki i wyznaczenia przedziałów rozwiązań argumentu.

Wykorzystam wielomian x^3+6x^2+5x-12 do rozwiązania nierówności x^3+6x^2+5x-12 \ge 0

Jak wiemy, pierwiastkami wielomianu są x=1, x=-4, x=-3 czyli

x^3+6x^2+5x-12 \ge 0  \Leftrightarrow (x-1)(x+4)(x+3) \ge 0


Najszybszym sposobem wyznaczenia rozwiązania jest naszkicowanie wykresu wielomianu.

Wykres szkicujemy na osi liczbowej idąc od prawej do lewej strony.
Jeśli a_n>0 zaczynamy od góry, natomiast jeśli a_n<0 zaczynamy od dołu.
Wykres naszego wielomianu oczywiście przecina oś w punktach odpowiadających pierwiastkom o krotności nieparzystej, natomiast jeśli pierwiastek jest krotności parzystej wykres 'w pierwiastku' styka się tylko z osią odbijając w stronę z której szedł wcześniej wykres.

Dla naszego wielomianu wykres wygląda tak
Obrazek


Co oznacza, że naszym rozwiązaniem jest suma przedziałów x \in \left\langle-4;-3\right\rangle  \cup \left\langle 1; +\infty)

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl