szukanie zaawansowane

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

Funkcja wykładnicza


Funkcję postaci f(x) = a^x , \hspace{15} a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\} nazywamy funkcją wykładniczą

Wykresy funkcji wykładniczej w zależności od a

0<a<1

Obrazek


a^{x_1}>a^{x_2}  \Leftrightarrow x_1<x_2 \\ \\ a^{f(x)}>a^{h(x)}  \Leftrightarrow f(x) < h(x)


a>1

Obrazek


a^{x_1}>a^{x_2}  \Leftrightarrow x_1>x_2 \\ \\ a^{f(x)}>a^{h(x)}  \Leftrightarrow f(x) > h(x)



Jak widać z wykresów, funkcja wykładnicza jest różnowartościowa

Jest to ważny fakt - wykorzystywany przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że \forall x \in \mathbb{R} \hspace{5} a^x >0 !


Równania i nierówności wykładnicze

Równania i nierówności wykładnicze rozwiązuje się korzystając z faktu różnowartościowości funkcji wykładniczej przechodząc od postaci a^{f(x)} = a^{g(x)} do f(x) = g(x) czy nierówności jeśli rozwiązujemy nierówność zamiast równania (dla a>0 \wedge a \neq 1)

Rozwiążmy przykładowe równanie

16^{x+1}-4^{2x+1}-2^{4x-1}-23\cdot 2^3  \Leftrightarrow \\ \\ 2^{4x}\left(2^4-2^2-2^{-1}\right) = 184  \Leftrightarrow \\ \\ 2^{4x} = 16  \Leftrightarrow \\ \\ 2^{4x} = 2^4

W tym miejscu należy się powołać na różnowartościowość funkcji f(x) =2^x


\lvdots \\ \\ x = 1



Z nierównościami postępuje się podobnie z tym, że trzeba zwrócić uwagę na podstawę wykładniczą


4\cdot 9^x < 4\cdot 6^x + 3\cdot 4^x  \Leftrightarrow \\ \\ 4\cdot 3^{2x} < 4\cdot 2^x \cdot 3^x+3\cdot 2^{2x} \hspace{5} / \cdot \frac{1}{2^{2x}}  \Leftrightarrow  \\ \\
4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 4\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 3 < 0  \Leftrightarrow  \\ \\ \text{Zał: } t = \left(\frac{3}{2}\right)^x  \wedge  t > 0 \\ \\4t^2-4t-3 < 0  \Leftrightarrow  \\\\ t_1 = \frac{3}{2} \in \text{Zał}   \wedge  t_2 =-\frac{1}{2} \notin \text{Zał}  \Leftrightarrow \\ \\ x<1



Funkcja logarytmiczna


Jeżeli a\in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\} \wedge b \in \mathbb{R}^{+} to \log_a b=c  \Leftrightarrow a^c = b

Własności logarytmu

a\in \mathbb{R}^{+} \setminus\{1\} \wedge b \in \mathbb{R}^{+}

\log_a1=0 \\ \log_aa=1 \\ \\ a^{\log_ab}=b


Prawa działań na logarytmach

\log_ab = \frac{1}{\log_ba} \\ \\
\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca} \\ \\\log_ab_1+\log_ab_2 = log_a(b_1\cdot b_2), \hspace{15} b_1, \  b_2 \in \mathbb{R}^{+} \wedge a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\} \\ \\ \log_ab_1-\log_ab_2 = log_a\left(\frac{b_1}{b_2}\right) , \hspace{15} b_1, \ b_2 \in \mathbb{R}^{+} \wedge a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\} \\ \\ 
\frac{k}{m}\cdot log_ab= log_{a^{m}}b^k, \hspace{15} b \in \mathbb{R}^{+} \wedge a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\} \wedge k \in \mathbb{R} \wedge m \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\\ \\




Funkcję postaci f(x) = \log_a x, \hspace{15} \forall x \in \mathbb{R}^{+}, \hspace{5} a>0 \wedge a \neq 1 nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie a.

Wykresy funkcji logarytmicznej w zależności od podstawy logarytmu \left(a\right)

a \in (0; 1)

Obrazek


\log_ax_1>\log_ax_2  \Leftrightarrow x_1<x_2 \\ \\ \\log_af(x)>\log_ag(x)  \Leftrightarrow f(x)<g(x)


a \in (1; +\infty)

Obrazek


\log_ax_1>\log_ax_2  \Leftrightarrow x_1>x_2 \\ \\ \\log_af(x)>\log_ag(x)  \Leftrightarrow f(x)>g(x)


Jak widać z wykresu, funkcja logarytmiczna również jest różnowartościowa.

Równania i nierówności logarytmiczne logarytmach

Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych polega na przejściu od postaci \log_af(x) = \log_ag(x) do równania f(x) = g(x) (czy odpowiednio nierówności dla nierówności logarytmicznych), przy a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\} \wedge f(x)>0 \wedge g(x)>0

Oblicz x gdy 9^{\log_3\left(x-3\right)} = 4

9^{\log_3\left(x-3\right)} = 4  \Leftrightarrow \\ \\ \text{Zał: } 3 \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\}  \wedge x>3 \\ \\ 3^{2\log_3\left(x-3\right)} = 4  \Leftrightarrow \\ \\ \left(x-3\right)^2 = 4  \Leftrightarrow \\ \\ x = 5 \in \text{Zał} \vee x=1 \notin \text{Zał}  \Rightarrow x=5

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl