szukanie zaawansowane

Liczby zespolone

Liczby zespolone

Liczba zespolona to liczba postaci:

z = a + ib


gdzie i oznacza jednostkę urojoną przy czym i^2 = -1, natomiast a,b \in \mathbb{R}

Liczba zespolona z posiada część rzeczywistą oznaczoną \text{Re}\ z lub \Re  z i część urojoną oznaczoną \text{Im}\ z lub \Im z.

\text{Re}\ z = a, \hspace{15} \text{Im}\ z = b


Zbiór liczb zespolonych definiujemy jako iloczyn kartezjański :

\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}

Zatem liczbę zespoloną można przedstawić w postaci uporządkowanej pary liczb (a,b)

Moduł liczby zespolonej definiujemy jako:

|z|= \sqrt{a^2+b^2}


Liczbę zespoloną sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę różniącą się znakiem współczynnika przy jednostce urojonej i zapisujemy ją jako \overline{z}

\overline{z} = a - ib


Postać trygonometryczna
Obrazek


Liczbę zespoloną z=a+bi możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej jako

z=|z| \left( \cos\varphi+i \sin\varphi \right)


gdzie:
|z| = r = \sqrt{a^2+b^2} \\ \\ \cos\varphi =  \frac{a}{|z|} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \\\sin\varphi = \frac{b}{|z|} =  \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}


Kąt skierowany \varphi to argument liczby zespolonej. Oznaczamy go \varphi=\arg z . Dla liczby z=0 argument nie jest określony.

\text{Arg} \ z=\varphi nazywamy argumentem głównym, gdy \varphi\in\langle0,2\pi)

Postać wykładnicza

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\cdot \sin \varphi



Wzór de Moivre'a

z^n = |z|^n (\cos{n\varphi} + i \cdot \sin{n\varphi})


Pierwiastek liczby zespolonej

Pierwiastkiem zespolonym stopnia n\in \mathbb{N} z liczby z nazywamy każdą liczbę w\in \mathbb{C} taką, że
w^{n}=z i ozn. \sqrt[n]{z}

\sqrt[n]{z}=w\quad \Leftrightarrow \quad w^{n}=z


Każda liczba zespolona z \neq 0 ma dokładnie n pierwiastków zespolonych stopnia n. Pierwiastki te wyrażają sie wzorem

w_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)
gdzie k=0,1,\cdots,n-1,\qquad  \varphi=\arg z


Działania na liczbach zespolonych

Niech:
z_1=a+bi=|z_1| \left( \cos{\varphi_1}+i \sin{ \varphi_1} \right) =|z_1|e^{i \varphi_1}, \\\\
 z_2=c+di=|z_2| \left( \cos{\varphi_2}+i \sin{ \varphi_2} \right) =|z_2|e^{i \varphi_2}, \\\\
 z=|z| \left( \cos \varphi+i \sin \varphi \right)


Dodawanie:

z_1+z_2=(a+ib) + (c+id) = (a+c) + (b+d)i



Odejmowanie:

z_1-z_2=(a+ib) - (c+id) = (a-c) + (b-d)i


Mnożenie:

z_1\cdot z_2= (a+ib) \cdot (c+id) = ac + adi +bci +bdi^2  = (ac-bd) +(ad+bc)i=


=|z_1||z_2| \left(   \cos  \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right) +i  \sin  \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right)  \right) =


= |z_1||z_2|e^{i  \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) }


Dzielenie:

z_2 \neq 0

\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\cdot \overline{z}_2}{z_2 \cdot \overline{z}_2} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} =\frac{ac - iad + ibc - i^2bd}{c^2 - idc + idc - i^2d^2} =  \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=


=\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|} \left(   \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) +i \sin \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right)  \right)=


=\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) }

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl