W dwóch skarbonkach są monety jednozłotowe i dwuzłotowe: w pierwszej 2 monety jednozłotowe i 3 monety dwuzłotowe, w drugiej 5 monet jednozłotowych i 3 monety dwuzłotowe. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Jeśli w obu rzutach wypadną orły, to losujemy 3 monety z pierwszej skarbonki, w przeciwnym razie 3 monety z drugiej. Wylosowano łącznie kwotę większą od 4 zł. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowanie odbywało się z pierwszej skarbonki.
Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{49}{109}}\), robiąc to drzewkiem wychodzi \(\displaystyle{ \frac{7}{40}}\)
Prawdopodobieństwo - skarbonki.
-
Ktoscoscos
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 paź 2016, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: oOo
- Podziękował: 12 razy
-
Ktoscoscos
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 paź 2016, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: oOo
- Podziękował: 12 razy
Re: Prawdopodobieństwo - skarbonki.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3}+ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \right) }\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22238
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Prawdopodobieństwo - skarbonki.
A oprócz numerków możesz napisać jakieś rozumowanie?
Dodano po 15 minutach 1 sekundzie:
Czytałeś o schemacie Bayesa?
Dodano po 15 minutach 1 sekundzie:
Czytałeś o schemacie Bayesa?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7923
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Prawdopodobieństwo - skarbonki.
Na czym polega nasze działanie - wynikające z treści zadania ?
Mamy dwie skarbonki oznaczmy je literami \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}, }\) zawierające odpowiednio: \(\displaystyle{ S_{1} : \ \ | 2\times 1 \ \ zł, \ \ 3\times 2 \ \ zł |}\) i \(\displaystyle{ S_{2}: \ \ | 5\times 1 \ \ zł \ \ 3 \times 2 \ \ zł| }\)
Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą:
Zbiór wszystkich wyników (zdarzeń elementarnych) tego doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ \Omega = \{(O,O), \ \ (O, R),\ \ (R, O), \ \ (R, O)\}, \ \ O - \ \ orzeł \ \ R - \ \ reszka .}\)
Moneta jest symetryczna - uczciwa, więc \(\displaystyle{ P((O, O)) = P((O, R))= P((R, O)) = P((R, R)) = \frac{1}{4}.}\)
Jeżeli wypadły dwa orły, to znaczy zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ \{(O,O)\}, }\) - losujemy jednocześnie trzy monety ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1}}\)
Kiedy suma wylosowanych monet z tej skarbonki będzie większa od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł ? }\)
Wtedy, gdy wylosujemy dwie monety dwu złotowe i jedną monetę jednozłotową lub trzy monety dwuzłotowe. To oznacza, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń warunkowych:
\(\displaystyle{ \{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł |(O,O) \} }\) lub \(\displaystyle{ \{ 3\times 2 \ \ zł | (O,O)\} }\)
Prawwdopodobieństwa tych zdarzeń są odpowiednio równe:
\(\displaystyle{ P(\{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł\} |(O,O)) = \frac{{3\choose 2}\cdot {2\choose 1}}{{5\choose 3}} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10},}\)
\(\displaystyle{ P(\{ 3\times 2 \ \ zł \} |(O,O)) = \frac{{3\choose 3}}{{5\choose 3}} = \frac{1}{10}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano w etapie pierwszym dwa orły i sumę monet z \(\displaystyle{ S}\) większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł}\)
\(\displaystyle{ P( (O,O) \ \ i \ \ S > 4 \ \ zł) = \frac{1}{4} \left( \frac{6}{10} + \frac{1}{10} \right) = \frac{7}{40}.}\)
Wracamy do etapu pierwszego. Jeśli zaszło jedno ze zdarzeń: \(\displaystyle{ \{(O,R), (R,O), (R,R) \}, }\) to losujemy jednocześnie trzy monety ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
Oznaczając to zdarzenie \(\displaystyle{ A = \{(O,R), (R,O), (R,R)\}, }\) mamy
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{4}.}\)
Kiedy suma wylosowanych monet ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{2} }\) będzie większa od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł ? }\)
Tak samo jak ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1} }\) wtedy , gdy wylosujemy dwie monety dwuzłotowe i jedną monetę jednozłotową lub trzy monety dwuzłotowe. To oznacza, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń warunkowych:
\(\displaystyle{ \{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł |(O,O) \} }\) lub \(\displaystyle{ \{ 3\times 2 \ \ zł | (O,O)\} }\)
Prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe:
\(\displaystyle{ P(\{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł\} |(O,O)) = \frac{{3\choose 2}\cdot {5\choose 1}}{{8\choose 3}} = \frac{3 \cdot 5}{56} = \frac{15}{56},}\)
\(\displaystyle{ P(\{ 3\times 2 \ \ zł \} |(O,O)) = \frac{{3\choose 3}}{{8\choose 3}} = \frac{1}{56}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzeń, że wylosowano w etapie pierwszym orła i reszkę lub reszkę i orła lub dwie reszki ( zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ A }\)) i sumę monet z \(\displaystyle{ S }\) większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł}\)
\(\displaystyle{ P( A \ \ i \ \ S > 4 \ \ zł) = \frac{3}{4} \left( \frac{15}{56} + \frac{1}{56} \right) = \frac{3}{14}.}\)
Ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P( S_{1} |S > 4 \ \ zł) = \frac{P( (O,O) \ \ i \ \ S> 4 \ \ zł)}{ P(S > 4 \ \ zł)} = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{3}{14}} = \frac{98}{218} = \frac{49}{109} \approx 45\% }\)
Jak interpretujemy to prawdopodobieństwo ?
W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego, jeżeli wylosujemy sumę monet większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł.}\), to w około \(\displaystyle{ 45\% }\) ogólnej liczby jego wyników będzie pochodziła ona ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1}.}\)
Mamy dwie skarbonki oznaczmy je literami \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}, }\) zawierające odpowiednio: \(\displaystyle{ S_{1} : \ \ | 2\times 1 \ \ zł, \ \ 3\times 2 \ \ zł |}\) i \(\displaystyle{ S_{2}: \ \ | 5\times 1 \ \ zł \ \ 3 \times 2 \ \ zł| }\)
Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą:
Zbiór wszystkich wyników (zdarzeń elementarnych) tego doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ \Omega = \{(O,O), \ \ (O, R),\ \ (R, O), \ \ (R, O)\}, \ \ O - \ \ orzeł \ \ R - \ \ reszka .}\)
Moneta jest symetryczna - uczciwa, więc \(\displaystyle{ P((O, O)) = P((O, R))= P((R, O)) = P((R, R)) = \frac{1}{4}.}\)
Jeżeli wypadły dwa orły, to znaczy zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ \{(O,O)\}, }\) - losujemy jednocześnie trzy monety ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1}}\)
Kiedy suma wylosowanych monet z tej skarbonki będzie większa od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł ? }\)
Wtedy, gdy wylosujemy dwie monety dwu złotowe i jedną monetę jednozłotową lub trzy monety dwuzłotowe. To oznacza, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń warunkowych:
\(\displaystyle{ \{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł |(O,O) \} }\) lub \(\displaystyle{ \{ 3\times 2 \ \ zł | (O,O)\} }\)
Prawwdopodobieństwa tych zdarzeń są odpowiednio równe:
\(\displaystyle{ P(\{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł\} |(O,O)) = \frac{{3\choose 2}\cdot {2\choose 1}}{{5\choose 3}} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10},}\)
\(\displaystyle{ P(\{ 3\times 2 \ \ zł \} |(O,O)) = \frac{{3\choose 3}}{{5\choose 3}} = \frac{1}{10}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano w etapie pierwszym dwa orły i sumę monet z \(\displaystyle{ S}\) większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł}\)
\(\displaystyle{ P( (O,O) \ \ i \ \ S > 4 \ \ zł) = \frac{1}{4} \left( \frac{6}{10} + \frac{1}{10} \right) = \frac{7}{40}.}\)
Wracamy do etapu pierwszego. Jeśli zaszło jedno ze zdarzeń: \(\displaystyle{ \{(O,R), (R,O), (R,R) \}, }\) to losujemy jednocześnie trzy monety ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
Oznaczając to zdarzenie \(\displaystyle{ A = \{(O,R), (R,O), (R,R)\}, }\) mamy
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{4}.}\)
Kiedy suma wylosowanych monet ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{2} }\) będzie większa od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł ? }\)
Tak samo jak ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1} }\) wtedy , gdy wylosujemy dwie monety dwuzłotowe i jedną monetę jednozłotową lub trzy monety dwuzłotowe. To oznacza, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń warunkowych:
\(\displaystyle{ \{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł |(O,O) \} }\) lub \(\displaystyle{ \{ 3\times 2 \ \ zł | (O,O)\} }\)
Prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe:
\(\displaystyle{ P(\{ 2\times 2 \ \ zł + 1\times 1 \ \ zł\} |(O,O)) = \frac{{3\choose 2}\cdot {5\choose 1}}{{8\choose 3}} = \frac{3 \cdot 5}{56} = \frac{15}{56},}\)
\(\displaystyle{ P(\{ 3\times 2 \ \ zł \} |(O,O)) = \frac{{3\choose 3}}{{8\choose 3}} = \frac{1}{56}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzeń, że wylosowano w etapie pierwszym orła i reszkę lub reszkę i orła lub dwie reszki ( zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ A }\)) i sumę monet z \(\displaystyle{ S }\) większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł}\)
\(\displaystyle{ P( A \ \ i \ \ S > 4 \ \ zł) = \frac{3}{4} \left( \frac{15}{56} + \frac{1}{56} \right) = \frac{3}{14}.}\)
Ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P( S_{1} |S > 4 \ \ zł) = \frac{P( (O,O) \ \ i \ \ S> 4 \ \ zł)}{ P(S > 4 \ \ zł)} = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{3}{14}} = \frac{98}{218} = \frac{49}{109} \approx 45\% }\)
Jak interpretujemy to prawdopodobieństwo ?
W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego, jeżeli wylosujemy sumę monet większą od \(\displaystyle{ 4 \ \ zł.}\), to w około \(\displaystyle{ 45\% }\) ogólnej liczby jego wyników będzie pochodziła ona ze skarbonki \(\displaystyle{ S_{1}.}\)