Matematyka.pl

Wykazać, że dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ a}\) oraz dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierowność
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)+14 \ge 12\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right) }\).

Dodano po 13 minutach 27 sekundach:
Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +9+\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ \left( 2 \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) -3\right)^{2}+\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0 }\).

Podstaw \(\displaystyle{ x = a/b}\), wtedy Twoja nierówność przyjmuje postać

\(\displaystyle{ 5x^2 + \frac{5}{x^2} + 14 - 12x - \frac{12}{x} \ge 0}\)

Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)

\(\displaystyle{ 5x^4 + 5 + 14x^2 - 12x^3 - 12 x \ge 0}\)

Zgadujemy, że \(\displaystyle{ x = 1}\) zeruje lewą stronę, dzielimy ją przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) schematem Hornera.

\(\displaystyle{ (5 x^3 - 7 x^2 + 7 x - 5)(x - 1) \ge 0}\)

Pierwszy czynnik znowu jest zerowany przez \(\displaystyle{ x = 1}\), powtarzamy:

\(\displaystyle{ (5x^2 - 2 x + 5)(x-1)^2 \ge 0}\)

Pozostało sprawdzić, czy trójmian kwadratowy jest nieujemny. Możesz to zrobić korzystając z delty.

vip123 pisze: ↑16 kwie 2024, o 07:57Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\)

Ten sposób też jest dobry, tylko dla przejrzystości warto podstawić \(\displaystyle{ t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}}\). Otrzymuje się wtedy zwykłą nierówność kwadratową

\(\displaystyle{ 5t^2 - 12t + 4 \ge 0}\),

która po rozłożeniu przyjmuje postać

\(\displaystyle{ (t-2)(5t-2) \ge 0}\).

Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ t \ge 2}\), zatem ostatnia nierówność jest prawdziwa.