Matematyka.pl

Wyznaczyć odległość pomiędzy krzywymi o równaniach \(\displaystyle{ y = \ln x}\) oraz\(\displaystyle{ y = e^{x+2}+2}\)
(tzn. długość najkrótszego odcinka, którego jeden koniec znajduje się na jednej krzywej, a drugi koniec leży na drugiej krzywej).

Próbowałem oznaczyć dwa punkty typu: \(\displaystyle{ A=(x,\ln x), B=(y, e^{y+2}+2)}\) i minimalizować kwadrat odległości:
\(\displaystyle{
f(x,y) = (x-y)^{2}+(\ln x-e^{y+2}-2)^{2}
}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{2(x^2-xy+\ln x-e^{y+2}-2)}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 2(-e^{y+2}(\ln x-e^{y+2}-2)-x+y)}\)
Ale nie umiem rozwiązać tego układu równań, próbowałem również par punktów typu: \(\displaystyle{ A=(\ln x, x), B =(y, e^{y+2}+2)}\) ale też nic z tego nie wychodziło. Proszę o jakieś wskazówki / rozwiązanie.

Źródło: Egzaminy na ocenę celującą 2023 PWR

Ja próbowałem zapisać równania normalnych do obu krzywych , a potem je porównać co daje dość specyficzne równanie:

\(\displaystyle{ a^3+(a^2+a)\ln a+2a^2-2a-1=0}\)

Robiłem to na punktach:

\(\displaystyle{ A(a,\ln a) \in pr. y=\ln x}\)

oraz:

\(\displaystyle{ B(b,e^{b+2}+2) \in pr. y=e^{x+2}+2}\)

Potem standartowo:

styczna, normalna w tych punktach dla obu krzywych co mi dało dwie "normalne"

\(\displaystyle{ y=-ax+a^2+\ln a }\)

i druga:

\(\displaystyle{ y=-e^{-b-2}x+be^{-b-2}+e^{b+2}+2}\)

jak porównamy te normalne, żeby były równe (co da jedną normalną) otrzymamy ostatecznie równania:

\(\displaystyle{ b=-\ln a-2}\)

\(\displaystyle{ a^3+(a^2+a)\ln a+2a^2-2a-1=0}\)

Z drugiego równania wychodzi nam:

\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ b=-2}\)

Co ostatecznie da nam punkty dające tę odległość:

\(\displaystyle{ A(1,0) ; B(-2,3)}\)

zatem:

\(\displaystyle{ d= \sqrt{3^2+3^2} =3 \sqrt{2} }\)

Sprawdź sobie jeszcze bo mogłem się pomylić,

warto sprawdzić czy funkcja:

\(\displaystyle{ f(a)=a^3+(a^2+a)\ln a+2a^2-2a-1}\)

Ma tylko jedno miejsce zerowe...

dla:

\(\displaystyle{ a>0}\)

Ale ma


Zauważyłem teraz, że z Twoich równań pochodnych do zera masz takie same rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=1, y=-2}\)

Czasem się rozwiązanie zgaduje bo na pewno nie ma wzoru na takie dziwactwa...

Źródło: Egzaminy na ocenę celującą 2023 PWR

To też dobre bo pierwszy raz w życiu dostałem celującą...
(zawsze jedynki i gały...)


Frapuje mnie jeszcze jedna rzecz przecież dwie krzywe gładkie bez przecięć mogą tak leżeć, że nie mają wspólnej normalnej a odległość między nimi może istnieć a nawet musi istnieć...(może ktoś zapoda jakiś przykładzik)...

\(\displaystyle{ \begin{cases} f^{'}_{x}(x,y) = 2(x-y) +2\left( \ln(x) -e^{y+2} -2\right) \frac{1}{x} =0 \\ f^{'}_{y}(x,y) = -2(x-y) -2 \left(\ln(x)-e^{y+2}-2\right)e^{y+2} =0 \end{cases} }\)

Mnożymy obustronnie równania przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\) Dodajemy stronami i wyłączamy \(\displaystyle{ (\ln(x) -e^{y+2}- 2) }\) przed nawias.

Proponuję nieco krótsze rozwiązanie. Oczywiście nie ujmując w żaden sposób rozwiązaniu poprzedników.
Wiadomo, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=e^{x} }\). Czyli są one symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x }\). Najkrótsza możliwa odległość tej prostej od funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\), co łatwo pokazać, analizując funkcję będącą odległością punktu położonego na krzywej logarytmicznej od prostej będącej osią symetrii obu funkcji.

\(\displaystyle{ d(x)= \frac{\left| x-\ln(x)\right| }{ \sqrt{2} } }\)

Powyższa funkcja osiąga minimum dla \(\displaystyle{ x=1 }\). Zatem najkrótsza odległość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }\) od funkcji \(\displaystyle{ f(x)=e^{x} }\) jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\).

Ponadto funkcja \(\displaystyle{ f(x)=e^{x+2}+2 }\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(\displaystyle{ f(x)=e^{x} }\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=[-2,2] }\), który jest prostopadły do prostej \(\displaystyle{ y=x }\), a jego długość jest równa \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} }\). Wobec tego najkrótsza odległość pomiędzy funkcją \(\displaystyle{ f(x)=e^{x+2}+2 }\) i \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }\) jest równa \(\displaystyle{ 3\sqrt{2} }\).