Matematyka.pl

wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a, b)}\) dodatnich liczb całkowitych które spełniają równanie

\(\displaystyle{ ab=(a-b)^3}\)

mam wrażenie, że to zadanie jest proste tylko mój mózg już dzisiaj nie funkcjonuje, ale i tak miło by było gdyby ktoś się za to zabrał. jak wytworzę własne rozwiązanie, inne niż to, które ktoś zaproponuje to też się podzielę

Dodano po 4 godzinach 22 minutach 47 sekundach:
wymyśliłem rozwiązanie.

oznaczmy jako \(\displaystyle{ d}\) największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\). wtedy możemy zapisać \(\displaystyle{ a=dx}\) oraz \(\displaystyle{ b=dy.}\) przekształćmy równanie względem tych oznaczeń.

\(\displaystyle{ d^2 xy=(dx-dy)^3}\)
\(\displaystyle{ d^2 xy=d^3 (x-y)^3}\)
\(\displaystyle{ xy=d(x-y)^3}\)
wiemy, że liczby \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ x-y}\). gdyby \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ x-y}\) miały dzielnik \(\displaystyle{ p}\) to byłby on również dzielnikiem ich sumy czyli \(\displaystyle{ x}\), co przeczyłoby względnej pierwszości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). w takim razie również iloczyn \(\displaystyle{ xy}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ x-y.}\) na podstawie równości
\(\displaystyle{ xy=d(x-y)^3}\)
i względnej pierwszości \(\displaystyle{ xy}\) oraz \(\displaystyle{ x-y}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ xy|d}\), oraz na odwrót \(\displaystyle{ d|xy}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ d=xy}\). w takim razie
\(\displaystyle{ (x-y)^3=1 }\) czyli
\(\displaystyle{ x-y=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=y+1}\)
w takim razie pary liczb \(\displaystyle{ (a, b)}\) możemy zapisać jako \(\displaystyle{ ((d(y+1), dy)}\) czyli \(\displaystyle{ (xy(y+1), xy\cdot y), ((y+1)y(y+1), ((y+1)y\cdot y), ((y+1)^2 y, (y+1)y^2)}\)