Przedziały monotoniczności

[41421356]

Mam mały problem przy wyznaczaniu monotoniczności funkcji nieciągłych. Proszę o sprawdzenie czy ja dobrze rozumuję:

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x \leq0\\1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x \leq0\\-1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ h(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x <0\\1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x <0\\-1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)

I teraz odpowiedzi:
\(\displaystyle{ f\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ f=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

Oczywiście zabawa się rozchodzi o te przedziały. Kiedy domykamy, a kiedy nie.

[Jan Kraszewski]

Jeżeli monotoniczność rozpatrujesz w silnym sensie, to dobrze.

JK

[41421356]

\(\displaystyle{ f\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ f=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in(0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in(0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)

Edit: chyba jednak tak będzie poprawnie.

[Jan Kraszewski]

A tak, masz rację. Skoncentrowałem się na pierwszej części odpowiedzi.

JK

[41421356]

Dzięki za pomoc.

[a4karo]

Odpowiedź zależy od definicji funkcji rosnącej.
Jeżeli funkcja rosnąca to funkcja spełniająca warunek \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)<f(y)}\), to odpowiedzi sa poprawne.
Przy definicji (równie często spotykanej) \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)}\) już tak nie jest.

[Jan Kraszewski]

Odpowiedź zależy od definicji funkcji rosnącej.
Jeżeli funkcja rosnąca to funkcja spełniająca warunek \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)<f(y)}\), to odpowiedzi sa poprawne.
Przy definicji (równie często spotykanej) \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)}\) już tak nie jest.

To właśnie napisałem:

Jeżeli monotoniczność rozpatrujesz w silnym sensie, to dobrze.

JK

[41421356]

Jeśli nierówność pomiędzy wartościami funkcji jest słaba to wówczas mówimy po prostu o funkcji słabo rosnącej / słabo malejącej. Dziękuję raz jeszcze za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Jeśli nierówność pomiędzy wartościami funkcji jest słaba to wówczas mówimy po prostu o funkcji słabo rosnącej / słabo malejącej.

To akurat zależy od przyjętej terminologii. Można albo mówić o funkcji słabo rosnącej i rosnącej, albo o rosnącej i ściśle/silnie rosnącej.

JK

[41421356]

Rozumiem, już wszystko jasne. Raz jeszcze dziękuję za pomoc.