Zbiór dwuelementowy - konstrukcja funkcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Zbiór dwuelementowy - konstrukcja funkcji

Post autor: matmatmm »

Mamy takie oto zdanie:

Dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\), jeśli istnieją \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że \(\displaystyle{ A=\{p,q\}}\), to istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\{0,1\}\rightarrow A}\) taka, że \(\displaystyle{ A=\{f(0),f(1)\}}\)

przy czym napis \(\displaystyle{ T=\{\alpha,\beta\}}\) oznacza dla mnie formalnie tutaj

\(\displaystyle{ \forall_x\left( x\in T \iff \left( x=\alpha \vee x=\beta\right) \right)}\)

Pytanie zasadnicze, jak to niepozorne zdanie udowodnić w aksjomatycznej teorii mnogości !?

Mój jedyny pomysł jest taki, żeby dla dowolnego takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zastosować twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu i przy tym mam nieodparte wrażenie, że bez pewnika wyboru się nie obejdzie. Czy komuś coś wiadomo na temat możliwości udowodnienia tego w ZF?

-- 18 sie 2019, o 23:43 --

Napisałem strasznie głupi post. Istnienie tej funkcji jest oczywiste. Chodziło mi tutaj o to, że wskazanie tej funkcji nie jest jednoznaczne, więc chcąc przyporządkować każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\) (z innego z góry ustalonego zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)) taką funkcję \(\displaystyle{ f}\), będzie potrzebny pewnik wyboru. No cóż, temat już jest.
ODPOWIEDZ