dowód wartości maksymalnej i minimalnej
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
dowód wartości maksymalnej i minimalnej
Nie wiem jak udowodnić że wartośc minimalna wynosi 2 a największa 4 nastepującej funkcji
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej
Pochodne były ?
[edit] Jak były to szukać zbioru wartości stosując pochodną.
Jak nie to sprawdzić dla jakich (a) istnieje rozwiązanie równania :
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=a}\)
[edit] Jak były to szukać zbioru wartości stosując pochodną.
Jak nie to sprawdzić dla jakich (a) istnieje rozwiązanie równania :
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=a}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej
Trzeba zbadać ekstrema tej funkcji, monotoniczność i granice na krańcach przedziałów określoności.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)
Zacznijmy od dziedziny - jest nią zbiór liczb rzeczywistych.
Granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) =......}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to - \infty} f(x) =......}\)
Teraz ekstrema - to punkty, w których pierwsza pochodna zmienia znak.
A więc liczysz:
\(\displaystyle{ f'(x)=....}\)
Przyrównujesz ją do zera:
\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Leftrightarrow x=......}\)
Pamiętaj też, że funkcja jest rosnąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest dodatnia, a maleje tam, gdzie jest ona ujemna.
Przedstaw swoje obliczenia.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)
Zacznijmy od dziedziny - jest nią zbiór liczb rzeczywistych.
Granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) =......}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to - \infty} f(x) =......}\)
Teraz ekstrema - to punkty, w których pierwsza pochodna zmienia znak.
A więc liczysz:
\(\displaystyle{ f'(x)=....}\)
Przyrównujesz ją do zera:
\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Leftrightarrow x=......}\)
Pamiętaj też, że funkcja jest rosnąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest dodatnia, a maleje tam, gdzie jest ona ujemna.
Przedstaw swoje obliczenia.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\)
i teraz udowodnij, że
\(\displaystyle{ -1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1}\), mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), przenosząc na jedną stronę i zwijając do kwadratu różnicy czy tam sumy ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 / a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\).
Równość w nierówności z lewej zachodzi dla \(\displaystyle{ x=-1}\), a w tej nierówności z prawej dla \(\displaystyle{ x=1}\), to tak kontrolnie.
i teraz udowodnij, że
\(\displaystyle{ -1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1}\), mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), przenosząc na jedną stronę i zwijając do kwadratu różnicy czy tam sumy ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 / a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\).
Równość w nierówności z lewej zachodzi dla \(\displaystyle{ x=-1}\), a w tej nierówności z prawej dla \(\displaystyle{ x=1}\), to tak kontrolnie.
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej
Dodam od siebie, że \(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\) wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}= \frac{3(x^{2}+1)+2x}{x^{2}+1} = \frac{3(x^{2}+1)}{x^{2}+1} + \frac{2x}{x^{2}+1}= 3+\frac{2x}{x^2+1}}\) bo nie zawsze przykłady są takie, że od razu widać jak poszachermacherować te ułamki by można się pozbyć pewnych elementów
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}= \frac{3(x^{2}+1)+2x}{x^{2}+1} = \frac{3(x^{2}+1)}{x^{2}+1} + \frac{2x}{x^{2}+1}= 3+\frac{2x}{x^2+1}}\) bo nie zawsze przykłady są takie, że od razu widać jak poszachermacherować te ułamki by można się pozbyć pewnych elementów
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: dowód wartości maksymalnej i minimalnej
Nie wiem ale z całym szacunkiem strasznie komplikujecie mnie uczyli, że wystarczy zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 2}\)
po wymnożeniu przez mianownik a można bo większy od zera i skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ (x+1)^2 \ge 0}\)
co jest prawdą, wystarczy tylko wskazać liczbę \(\displaystyle{ x=-1}\) gdzie wartość osiąga zero i po sprawie.
Podobnie drugi przypadek:
\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \le 4}\)
otrzyma:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 4}\)
co jest prawdą i zeruje się dla.: \(\displaystyle{ x=1}\)
czyli osiąga extremum...
Jeżeli pokaże Pani swojej takie rozwiązanie na pewno dostanie piątkę i pochwałę...
Wszystkie inne rozwiązania będą świadczyły, że nie są samodzielne i może zostać upomniany a nawet znieważony...
Z całym szacunkiem ...
\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 2}\)
po wymnożeniu przez mianownik a można bo większy od zera i skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ (x+1)^2 \ge 0}\)
co jest prawdą, wystarczy tylko wskazać liczbę \(\displaystyle{ x=-1}\) gdzie wartość osiąga zero i po sprawie.
Podobnie drugi przypadek:
\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \le 4}\)
otrzyma:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 4}\)
co jest prawdą i zeruje się dla.: \(\displaystyle{ x=1}\)
czyli osiąga extremum...
Jeżeli pokaże Pani swojej takie rozwiązanie na pewno dostanie piątkę i pochwałę...
Wszystkie inne rozwiązania będą świadczyły, że nie są samodzielne i może zostać upomniany a nawet znieważony...
Z całym szacunkiem ...