Kontrprzykład wielokąta

[max123321]

Załóżmy, że wierzchołkami wielokąta \(\displaystyle{ W}\) są punkty \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_{2n-1},A_{2n}}\). Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) twierdzenie mówiące, że gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ A_1A_2+A_3A_4+...+A_{2n-1}A_{2n}=A_2A_3+A_4A_5+...+A_{2n-2}A_{2n-1}+A_{2n}A_1}\) to w ten wielokąt można wpisać okrąg nie jest prawdziwe.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Ja próbuję zrobić kontrprzykład tak: Najpierw postaram się skonstruować sześciokąt wypukły, który ma tę własność i nie da się wpisać w niego okręgu. Rozważmy romb \(\displaystyle{ ABCD}\) o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60^\circ}\). W romb można wpisać okrąg, jego środek oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\). Punkt wspólny odcinka \(\displaystyle{ AO}\) z okręgiem oznaczmy przez \(\displaystyle{ S}\). Poprowadźmy styczną do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Przetnie ona boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\). Środki odcinków \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AR}\) oznaczmy odpowiednio przez \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ W}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ TW}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ Q}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ AQ}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ E}\). Z symetrii względem prostej \(\displaystyle{ AC}\) widzimy, że \(\displaystyle{ TE=WE}\), a także \(\displaystyle{ BT=DW}\). Popatrzmy teraz na sześciokąt \(\displaystyle{ EWDCBT}\). Zachodzi w nim równość \(\displaystyle{ CD+WE+BT=CB+DW+TE}\). Ponadto w ten sześciokąt nie da się wpisać okręgu ponieważ z określenia punktów \(\displaystyle{ T,E,W}\) wynika, że odcinki \(\displaystyle{ TE}\) oraz \(\displaystyle{ WE}\) leżą całkowicie poza okręgiem, nie mogą być zatem do niego styczne.

Dobrze? Trochę to skomplikowane, ale wydaje mi się, że poprawne. Czy może ktoś się do tego odnieść?

[Hir]

Jest dobrze. A co dla innych wartości \(\displaystyle{ n}\)?

Według artykułu "Pitot theorem" na angielskiej wiki, w czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości przeciwległych boków jest taka sama (połowa obwodu) i uogólnienie do \(\displaystyle{ 2n}\)-kątów jest prawdziwe. Ciekawe.

[a4karo]

Jeżeli przykład podany przez maxa jest ok, to znaczy, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitota dla `2n-`kątów przy `n>2` nie jest prawdziwe.

Angielska wiki podaje

Pitot's theorem generalizes to tangential `2n`-gons, in which case the two sums of alternate sides are equal. The same proof idea applies

ale twierdzenie Pitota to twierdzenie w jedną stronę.

Warto zajrzeć do cytowanej pracy de Villiers, Michael (1993), "A unifying generalization of Turnbull's theorem", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 24 (2): 65–82, ale ja mam lepsze pomysły na wydanie 60$

[Dasio11]

Rozważmy prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ 100 \times 1}\). Do obu krótszych boków dopisujemy trójkąty równoboczne o boku \(\displaystyle{ 1}\), a same boki usuwamy. Powstały sześciokąt spełnia równanie z długościami boków, ale nie można wpisać weń okręgu.