Matematyka.pl

Mam nadzieje ze zadania będą trudniejsze niz w zeszlym roku i prog nie bedzie 25 pkt.
Licze na fajne geometrie

Jakie obstawiacie progi?

18-24
Na pewno nie będzie aż tyle osób, które mają 30 punktów co w zeszłym roku. Geometria z pierwszego dnia kosiła.

Ja zrobiłem zadania 1, 3 i 4. Bardzo liczę na próg 17-18.

Całkiem ładny zestawik. Myślę, że próg będzie bliżej 18 niż 24, ale tylko dwa zadania na pewno nie starczą. Ostatnio się jakoś młodzież podciągnęła w porównaniu z 68. OM

Obstawiam 19.
Niestety trzy zadania plus coś tam w jeszcze jednym mogą nie wystarczyć, ale rok temu niezbadanym zrządzeniem niebios jednak mi się udało, więc w tym może też.

Czy mógłby ktoś wrzucić treść zadań z II etapu? Dziwne, że jeszcze nie pojawiły się na oficjalnej stronie olimpiady...

1. Załóżmy, że parami różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ (a^2 + b^2 - 1)(a+b)=(b^2+c^2-1)(b+c)=(c^2+d^2-1)(c+d)}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\).

2. Dana jest dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\). Jadzia ma za zadanie napisać na tablicy wszystkie liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2n-1}\) po kolei, przy czym każdą z nich może napisać czerwoną lub niebieską kredą. Powiemy, że para liczb \(\displaystyle{ i,j \in \left\{ 1,...,2n-1 \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ i \le j}\), jest dobra, jeśli wśród liczb \(\displaystyle{ i,i+1,...,j}\) nieparzyście wiele zostało napisanych na tablicy na niebiesko. Wyznaczyć, w zależności od \(\displaystyle{ n}\), największą możliwą liczbę dobrych par, jaką Jadzia może uzyskać.

3. Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABM}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ACM}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ F}\) jest taki, że czworokąt \(\displaystyle{ DMEF}\) jest równoległobokiem. Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na prostej zawierającej dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\).

4. W sześciokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCDEF}\) prawdziwe są równości
\(\displaystyle{ AB = CD = EF}\) oraz \(\displaystyle{ BC=DE=FA}\).
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \angle FAB + \angle ABC = \angle FAB + \angle EFA = 240^{\circ}}\), to \(\displaystyle{ \angle FAB + \angle CDE = 240^{\circ}}\).

5. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>2}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ p+1}\) liczb całkowitych. Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\), dla których liczba
\(\displaystyle{ a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ... + (p-1)a_{p-1}}\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).

6. Załóżmy, że nieujemne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_{0},a_{1},a_{2},...}\) oraz \(\displaystyle{ b_{0},b_{1},b_{2},..}\) spełniają nierówności \(\displaystyle{ a_{i}^{2} \le a_{i-1}a_{i+1}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{i}^{2} \le b_{i-1}b_{i+1}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i \ge 1}\). Definiujemy liczby \(\displaystyle{ c_{0}, c_{1}, c_{2},...}\) wzorem
\(\displaystyle{ c_{n} = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} a_{i}b_{n-i} }\)
(przy czym \(\displaystyle{ c_{0}=a_{0}b_{0}}\)). Wykazać, że dla wszystkich \(\displaystyle{ k \ge 1}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ c_{k}^2 \le c_{k-1}c_{k+1}}\).

@niunix98 Thx

Próg 16 wg strony OM. Wiedziałem, że zadanka dowalone.