Sqrt(12) - niewymierna

[dudi_pl]

Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą niewymierną:)
pozdr

[Tomasz Rużycki]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ f(x) = x^2-12}\).

Wszystkie możliwe pierwiastki wymierne są ze zbioru \(\displaystyle{ \{\pm 1, 2, 3, 4, 6, 12\}}\), jednak dla żadnej z tych liczb wielomian sie nie zeruje, a możemy zapisać go w postaci \(\displaystyle{ f(x) = (x+\sqrt{12})(x-\sqrt{12})}\), więc rzeczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą niewymierną.

[dudi_pl]

Hmm, ciekawy dowód Co nam daje (i do czego jest potrzebna) ta druga własność (ten rozkład)?

ps. jeśli ktoś zna jeszcze jakiś inny dowód to zapraszam

[Tomasz Rużycki]

Rozłożyłem po prostu ten wielomian na czynniki, by było widać, jakie ma pierwiastki. Skoro ma dwa i nie ma wymiernych, to oba są niewymierne.

[Mersenne]

Dowód nie wprost
Załóżmy, że istnieje ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt12}\)
Podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}=12}\) tzn. \(\displaystyle{ p^2=12\cdot q^2}\)
Przypuśćmy, że liczby p i q rozłożyliśmy na czynniki pierwsze.
1.Po lewej stronie równania czynnik 12 nie występuje wcale lub występuje parzystą liczbę razy.
2.Po prawej str. równania, tzn. w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q q}\):
a)jeśli w liczbie q występuje czynnik 12, to w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q\cdot q}\) występuje nieparzystą liczbę razy
b) jeśli w liczbie q nie występuje czynnik 12, to w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q\cdot q}\) czynnik 12 występuje nieparzystą liczbę razy
Stąd wynika, że iloczyny \(\displaystyle{ p\cdot p=12\cdot q\cdot q}\) nie mogą być równe.
Założenie prowadzi do sprzeczności, stąd liczba \(\displaystyle{ \sqrt12}\) nie jest liczbą wymierną.

[dudi_pl]

Wielkie dzięki

[Sulik]

Może być jeszcze taki:
Dowód nie wprost: załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą wymierną, istnieją wtedy dwie liczby całkowite (w naszym przypadku nawet naturalne) p i q, takie, że \(\displaystyle{ \frac pq=\sqrt{12}}\), wynika stąd, że \(\displaystyle{ p^2=12q^2}\), czyli \(\displaystyle{ p^2=2\cdot2\cdot3q^2}\). A równanie to jest nierozwiązywalne w zbiorze liczb naturalnych, gdyż rozpatrując rozkłady na czynniki pierwsze stwierdzamy, że \(\displaystyle{ p^2}\) jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych a \(\displaystyle{ 2\cdot2\cdot3\cdot q^2}\) nieparzystej liczby liczb pierwszych.

Mam pewną uwagę do dowodu Mersenne: liczba 12 nie jest liczbą pierwszą a dowód jest zrobiony tak jaby taką była.