Dwa zadania z kinematyki.

[robert179]

1)
Dwie cząsteczki poruszają się w prostokątnym układzie wsp. z prędkościami: \(\displaystyle{ v_{1}=2\vec{i}}\)[m/s] i \(\displaystyle{ v_{2}=3\vec{j}}\)[m/s]. W chwili t = 0 cząsteczki te znajdują się odpowiednio w punktach o wsp. \(\displaystyle{ x_{1}=-3}\)[m], \(\displaystyle{ y_{1}=0}\)[m] oraz \(\displaystyle{ x_{2}=0}\)[m], \(\displaystyle{ y_{2}=-3}\).
a) Znaleź wektor określający położenie cząstki pierwszej względem drugiej.

Moze mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego pierwsza cząsta porusza się po osi OX w prawo, a druga po OY w góre?


2)
Równanie ruchu dwóch punktów, obserwowanych z danego układu wsp. wyglądają następująco:
\(\displaystyle{ \vec{r_{1}}(t) = (0, 2, 0) + (3, 1, 2)t + (1, 1, 0)t^{2}}\)[m]
\(\displaystyle{ \vec{r_{2}}(t) = (1, 0, 1) + (0, 2, 1)t}\)[m]

Nie rozumiem tego zapisu wektorowego(?) przy t.

[Amon-Ra]

Ad 1.

Moze mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego pierwsza cząsta porusza się po osi OX w prawo, a druga po OY w góre?

O to pytaj twórców zadania .

Decydują o tym liczby stojące przy wersorach osi - gdy są dodatnie, uznajemy, że wektor zwrócony jest w kierunku wzrastających wartości na osi, gdy ujemne - w kierunku wartości malejących. Nietrudno zauważyć, że wartości na osi OX rosną w prawo, na osi OY - w górę.

Aby odnaleźć wektor łączący obie cząstki, najpierw trzeba odnaleźć wzór wektorów (w zależności od czasu), łączących pierwszą i drugą cząstkę z początkiem układu współrzędnych.

Cząstka pierwsza porusza się wyłącznie w poziomie, druga w pionie; nazwijmy ich wektory wodzące kolejno \(\displaystyle{ \normal \vec{x}(t)}\) i \(\displaystyle{ \normal \vec{y}(t)}\); niech ich położenia początkowe (w chwili t=0) symbolizują wektory początkowe, tutaj z indeksem 0. Uwzględniając dane o położeniu cząstek, dostajemy:

\(\displaystyle{ \large \vec{x}_0(t)=-3\hat{i} \\ \vec{y}_0(t)=-3\hat{j}}\)

Przemieszczenie punktów to nic innego, jak całka wektora prędkości po czasie, tutaj równoważna zwykłemu iloczynowi. Dane są prędkości zapisane wektorowo, zatem nie rozpisując się zbytnio, konstatujemy, iż finalna postać wektorów wodzących będzie prezentować się tak:

\(\displaystyle{ \large \vec{x}(t)=\vec{x}_0 +\vec{v}_x t=-3\hat{i}+2t\hat{i}=\hat{i}(2t-3) \\ \vec{y}(t)=\vec{y}_0 +\vec{v}_y t=-3\hat{j}+3t\hat{j}=3\hat{j}(t-1)}\)

Zapisy nie są zupełnie poprawne - powinny się w nim znajdować jeszcze pewne stałe, równe 1, a posiadające jednostkę potrzebną do tego, aby po wymnożeniu jedno przez drugie otrzymać wymagany 1 metr. Pomijam je jednak, co by od treści zadania zbytnio nie odejść, a i by rozwiązania nie skomplikować.

Wektor pozycji cząstki pierwszej względem drugiej będzie leżał na prostej łaczącej cząstki, będzie skierowany w stronę cząstki wędrującej w poziomie. Z dobrze zrobionego rysunku od razu widać, że wektor tenże równy będzie:

\(\displaystyle{ \large \vec{r}_{21}=\vec{x}(t)-\vec{y}(t)=...=\hat{i}(2t-3)-3\hat{j}(t-1)}\)

Ponownie, miej na uwadze moją adnotację o stałych i jednostkach.

Równanie ruchu dwóch punktów, obserwowanych z danego układu wsp. wyglądają następująco:

Nie podałeś polecenia w zadaniu, ale wnioskuję, iż Twoje wątpliwośći dotyczą tylko tego nieszczęsnego zapisu wektorowego. Cóż, według mnie jest to po prostu nieco rozwinięty zapis wektora - zamień te nawiasy na np. \(\displaystyle{ \normal \vec{A}, \, \vec{B}, \, \vec{C}}\) - ale znowu brakuje informacji na temat stałych i jednostek .

[robert179]

Nie podałeś polecenia w zadaniu ...

Tzn. mam znaleźć, prędkość punktu drugiego względem pierwszego.
Czyli: \(\displaystyle{ v=v_{2}-v_{1}}\), ale ten zapis współczyników mnie gubi .