Pochodne 2 rzędu z def

[wiskitki]

Jeżeli chcę obliczyć pochodną \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2}}\) jakiejś funkcji f w pkt (0,0) to trzeba zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\frac{df}{dx}(h,0)-\frac{df}{dx}(0,0)}{h}}\) i później te pochodne co są w liczniku, to policzyć normalnie z definicji?

[szw1710]

Czy masz zadanie polegające na policzeniu drugiej pochodnej z definicji? Bo są prostsze metody

Uwaga. Bezpośrednio można drugą pochodną zdefiniować tak:

\(\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{2h^2}}\)

[norwimaj]

Uwaga. Bezpośrednio można drugą pochodną zdefiniować tak:

\(\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{2h^2}}\)

Wydaje mi się, że nie jest to definicja całkiem równoważna klasycznej (pomijając nawet tę dwójkę w mianowniku, której chyba nie powinno być). Tę definicję spełniają też niektóre funkcje nieróżniczkowalne.

Dla przykładu funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac1{2^n}&\text{dla }x=\frac1{2^n}, n\in\mathbb{N}\\
0&\text{w p. p.}\end{cases}}\)

nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ 0}\), ale spełnia powyższą definicję.

[szw1710]

Dokładnie Brawo za przenikliwość. Tak będzie np. dla nieciągłej funkcji addytywnej. Ale dla dwukrotnie różniczkowalnych jest OK. Więc można by powiedzieć, że jeśli funkcja ma druga pochodną, to można ją wyliczyć za pomocą tej granicy. Nie myślałem, że ktoś to odkryje. Na przyszłość będę więc porządniejszy i bardziej precyzyjny.

Dwójka musi być. Przelicz np. druga pochodną dla \(\displaystyle{ x^2}\). Powód jest głębszy, ale na razie nie będę wyjaśniał. Zrobię to, jeśli będzie zainteresowanie.

Rzucę tylko hasłem: uogólnione ilorazy różnicowe, czyli różnice dzielone (divided differences) i twierdzenie o wartości średniej dla takich różnic.

[norwimaj]

No właśnie sprawdzam dla \(\displaystyle{ x^2}\) i z dwójką w mianowniku wychodzi mi druga pochodna \(\displaystyle{ 1}\).

Popraw mnie, jeśli się mylę. Zakładając że \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotnie różniczkowalna:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{2h^2}=\\\\
=\lim_{h\to 0}\frac{\left(f(x)+2hf'(x)+\frac{(2h)^2}{2}f''(x)+o(h^2)\right)-
2\left(f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\right)+o(h^2))+f(x)}{2h^2}=\\\\
=\lim_{h\to 0}\frac{h^2f''(x)+o(h^2)}{2h^2}=\frac{f''(x)}2.}\)

[szw1710]

Świetnie. Wiesz, przez rutynę tę dwójkę musiałem napisać. Dzięki. W twierdzeniu o wartości średniej jest, że odpowiednia różnica dzielona to wartość odpowiedniej pochodnej w punkcie pośrednim dzielona przez silnię rzędu pochodnej. I to pasuje. A mi się umyśliło, że tę silnię trzeba też wrzucić do rozważanej granicy. Więc przyznaję rację: dwójka jest zbędna i zła.

Podsumowując dyskusję, mamy nastepującą własność: jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x}\), to

\(\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}.}\)

[wiskitki]

Wiem, że są łatwiejsze sposoby, ale na ćwiczeniach liczyliśmy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dxdy}}\) funkcji (nie chce mi się jej przepisywać ) w pkt 0,0 i liczyliśmy taką granicę: \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\frac{df}{dy}(h,0)-\frac{df}{dy}(0,0)}{h}}\). Po prostu zastanawiam się, co by było, gdybym dostał na kolokwium na przykład \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2}}\), czy to w ten sam sposób, bo nie chcę pisać głupot

[szw1710]

Tak jest, analogicznie.

[Dasio11]

Zrobię to, jeśli będzie zainteresowanie.

Jest zainteresowanie.

[szw1710]

Dobrze, będę miał to na uwadze. Już hasłowo o tym powiedziałem. Oczywiście nie jest to takie proste do właściwego przedstawienia, ale postaram się. Jednak nie w tym temacie. Osobny chyba utworzę. Proszę jednak o cierpliwość. Zajęcia zawodowe itp. Parę dni może mi to zająć. A przede wszystkim muszę starannie w myślach wyselekcjonować rzeczy najistotniejsze, żeby wiedzieć, co pisać, a nie pisać, co wiem

Będę pisał o ilorazach różnicowych. Proszę spojrzeć tu: na uogólnienia. O tym rzecz będzie. O pewnych własnościach.

Taki przedsmak dałem.

-- 4 lis 2011, o 15:43 --

Dasio11, napisałem, viewtopic.php?t=269333