Dowód tego faktu jest indukcyjny, ze względu na ilość elementów skończonego zbioru
\(\displaystyle{ S}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Po pierwsze, indukcje rozpoczynamy od
\(\displaystyle{ n=2}\), bo dla
\(\displaystyle{ n=1}\) i dla
\(\displaystyle{ n=0}\) nie ma sensu mówić o współliniowości punktów oraz ciężko jest wyznaczyć prostą przechodzącą przez jeden punkt. A zatem:
Dla
\(\displaystyle{ n=2}\), założenia naszego twierdzenia nie da się spełnić, a więc cale twierdzenie (jako implikacja) jest prawdziwa. (Albo inaczej: teza implikacji jest spełniona, bo przez dwa różne punkty można przeprowadzić prostą, a zatem następnik implikacji jest spełniony, a więc cala implikacja również jest prawdziwa).
Dla
\(\displaystyle{ n=3}\), łatwo jest zobaczyć, że dla trzech różnych punktów
\(\displaystyle{ A,B}\) i
\(\displaystyle{ C,}\) stosując nasze założenie do punktów
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\), to łatwo jest widzieć, że (zarówno gdy otrzymany punkt
\(\displaystyle{ C}\) leży na lewo odcinka
\(\displaystyle{ AB}\), lub gdy leży na jego prawo lub gdy leży wewnątrz tego odcinka), to wszystkie te trzy punkty leżą na jednej prostej.
Krok indukcyjny:
Załóżmy, że nasz fakt zachodzi dla wszystkich podzbiorów płaszczyzny mających
\(\displaystyle{ n \ge 3}\) elementów- zbiorów skończonych spełniających nasze warunki. Pokażemy, że nasz fakt będzie zachodził dla wszystkich zbiorów skończonych o naszej własności, mających dokładnie
\(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\) elementów.
Niech
\(\displaystyle{ S= \left\{ A_1, A_2,\ldots, A _{n+1} \right\} \subset \RR ^{2}}\) będzie zbiorem
\(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\)-elementowym, takim, że dla
\(\displaystyle{ i,j \in \left\{ 1,2,\ldots, n+1\right\}}\),
\(\displaystyle{ i \neq j}\) istnieje
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2,\ldots, n+1\right\}}\),
\(\displaystyle{ j \neq k \neq i}\), takie, że punkt
\(\displaystyle{ A _{k}}\) leży na prostej
\(\displaystyle{ A_iA_j}\)- czyli chodzi tu o zbiór
\(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\)- elementowy spełniający naszą własność. Jeśli wszystkie punkty
\(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A _{n+1}}\) są współliniowe, to krok indukcyjny został dowiedziony. W przeciwnym razie, przypuśćmy, że przez pewne dwa różne punkty
\(\displaystyle{ A_i}\) i
\(\displaystyle{ A_j}\) ze zbioru
\(\displaystyle{ S}\) poprowadzimy prostą, i przypuśćmy, że pewien punkt
\(\displaystyle{ A_k}\) ze zbioru
\(\displaystyle{ S}\) nie leży na tej prostej (
\(\displaystyle{ n \ge 3}\)). Niech
\(\displaystyle{ S'= S \setminus \left\{ A_k\right\}\sim n}\). Z założenia, otrzymujemy, że dla dowolnych dwóch różnych punktów
\(\displaystyle{ A,B \in S' \subset S}\) istnieje punkt
\(\displaystyle{ C \in S}\) różny od punktów
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) leżący na prostej
\(\displaystyle{ A,B}\). Wtedy
\(\displaystyle{ C \neq A_k}\), bo punkt
\(\displaystyle{ C}\) leży na prostej
\(\displaystyle{ AB}\), a punkt
\(\displaystyle{ A_k}\) nie leży na prostej
\(\displaystyle{ A_iA_j}\). A zatem
\(\displaystyle{ C \in S \setminus \left\{ A_k\right\} = S'}\), i punkt
\(\displaystyle{ C}\) leży na prostej
\(\displaystyle{ AB}\), a zatem zbiór
\(\displaystyle{ S'}\) spełnia nasze założenia. Ponieważ zbiór
\(\displaystyle{ S'}\) ma dokładnie
\(\displaystyle{ n}\) elementów, to z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że wszystkie punkty zbioru zbioru
\(\displaystyle{ S'}\) leżą na jednej prostej. Ale punkt
\(\displaystyle{ A_k}\) nie leży na prostej poprowadzonej przez punkty
\(\displaystyle{ A_i}\) i
\(\displaystyle{ A_j}\), a zatem, ponieważ
\(\displaystyle{ i \neq k}\), to na mocy założenia, otrzymujemy, że pewien punkt
\(\displaystyle{ C \in S}\) różny od punktów
\(\displaystyle{ A_i}\) i
\(\displaystyle{ A_k}\) leży na prostej
\(\displaystyle{ A_iA_k}\). Wtedy
\(\displaystyle{ C \in S'= S \setminus \left\{ A_k\right\}}\), a zatem punkt
\(\displaystyle{ C}\) należy do przecięcia zbioru
\(\displaystyle{ S'}\) z prostą
\(\displaystyle{ A_iA_k}\), czyli należy do zbioru
\(\displaystyle{ \left\{ A_i\right\}}\), i
\(\displaystyle{ C=A_i}\)- sprzeczność. Wobec czego wszystkie punkty
\(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n+1}\) muszą być współliniowe, i krok indukcyjny został dowiedziony.
Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu
\(\displaystyle{ .\square}\)