[Nierówności] Trzy zmienne - iloczyn równy jedności

[Milczek]

Dla liczb \(\displaystyle{ a,b,c > 0}\) oraz \(\displaystyle{ abc = 1}\) wykaż że

\(\displaystyle{ ab^2 + bc^2 + ca^2 \ge ab + bc + ca}\)

Jak by ktoś wrzucał rozwiązanie , proszę o istotne wyjaśnienia lub ewentualnie same podpowiedzi. Sam kminię to zadanie trochę czasu i nieciekawie to wygląda.

[nobuddy]

Da sie w miarę bezboleśnie spałować

Ukryta treść:    

Ujednorodnić (\(\displaystyle{ ab+bc+ca = \sqrt[3]{abc} (ab+bc+ca)}\)), podnieść do 3...

Ukryta treść:    

...i Muirhead

Pewnie cie to niespecjalnie satysfakcjonuje, ale może wpadne na coś lepszego

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ \frac{ab^2 + ab^2 + ca^2}{3} \ge \sqrt[3]{a^4b^4c} = ab}\)

I cyklicznie dodać.

[Ponewor]

Przecież lewa strona tej nierówności nie jest symetryczna.
nobuddy, pokaż jak to dalej idzie, bo po wymnożeniu i skorzystaniu z Muirheada pozostaje do udowodnienia nie mniej trudna nierówność
\(\displaystyle{ a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6 +\frac{1}{2} \sum a^5b^2c^2 \ge \sum a^4b^3c^2}\)

[Marcinek665]

A z Muirheada to tutaj nie wolno korzystać.

[Milczek]

\(\displaystyle{ \frac{ab^2 + ab^2 + ca^2}{3} \ge \sqrt[3]{a^4b^4c} = ab}\)

I cyklicznie dodać.

To rozwiązanie najbardziej do mnie przemawia, wydaje się najprostsze , a i metoda ogranicza się do nierówności pomiędzy średnimi - póki co w inne przydatne narzędzia się nie wczytywałem.

[nobuddy]

Ups, rzeczywiście zostaje, walnąłem się na ilościach odpowiednich sum bo nie podzieliłem ich przez dwa Za to rozwiązanie Marcinek665 bardzo ładne, trzeba wykombinować tylko.

A z Muirheada to tutaj nie wolno korzystać.

Do całości nie, ale do tych parti co są symetryczne to chyba by można?

[Marcinek665]

No do symetrycznych można

[kaszubki]

Rozwiązanie marcinka spoko, ale moje jest lepsze:

Ukryta treść:    

Wykonujemy standardowe podstawienie \(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}, b=\frac{q}{r},c=\frac{r}{p}}\). Dostajemy co udowodnienia nierówność \(\displaystyle{ \sum_{cyc} \frac{pq}{r^2} \geq \sum_{cyc} \frac{q}{p}}\), co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika przekształca nam się na \(\displaystyle{ \sum_{cyc} p^3 q^3 \geq \sum_{cyc} q^3 r^2 p}\), co po podzieleniu przez \(\displaystyle{ pqr}\) daje nam nierówność \(\displaystyle{ \sum_{cyc} \frac{p^2 q^2}{r} \geq \sum_{cyc} \frac{q^2 r^2}{r}}\).
No to teraz wystarczy zauważyć, że ciągi \(\displaystyle{ (p^2 q^2, q^2 r^2, r^2 p^2)}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{r}, \frac{1}{p}, \frac{1}{q}}\) są tak samo monotoniczne, a teza sama do nas przychodzi na mocy dobrze znanej nierówności ciągów jednomonotonicznych.