Matematyka.pl

Wzór na pochodną funkcji złożonej typu:

• \(\displaystyle{ h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}}\)

Przekształcamy tą funkcję do postaci:

• \(\displaystyle{ h(x) = \left( e^{\ln \left[f(x) \right]}\right) ^{g(x)}}\)

a następnie do postaci:

• \(\displaystyle{ h(x)=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]}}\)

Teraz liczymy pochodną:

• \(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
  h'(x)=&e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]} \cdot \left[ g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right] \right]'=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]=\\=& \left[ f(x)\right]^{g(x)}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]
  \end{array}}\)

Przykład:

\(\displaystyle{ h(x) = x^{x}}\)

\(\displaystyle{ h(x) = e^{x\cdot \ln x}}\)

\(\displaystyle{ h'(x) = e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( 1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x} \right)=e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( \ln x+1\right)=x^{x}\cdot\left( \ln x+1\right)}\)

Pochodną funkcji postaci:

• \(\displaystyle{ h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}}\)

możemy obliczyć również innym sposobem.

Zlogarytmujmy obustronnie powyższą równość. Dostajemy:

• \(\displaystyle{ \ln [ h(x) ] = g(x) \ln [f(x)]}\)

Różniczkując powyższą równość dostajemy:

• \(\displaystyle{ \frac{1}{h(x)} h'(x) = g'(x) \ln [f(x)] + g(x) \frac{1}{f(x)} f'(x)}\)

czyli:

• \(\displaystyle{ h'(x) = h(x) \left[ g'(x) \ln [f(x)] + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)} \right]}\)