Obliczyć miarę Lebesgue'a
: 15 sty 2022, o 16:19
Czy ktoś mógłby zerknąć okiem na te rozwiązania i ocenić ich poprawność? Ewentualnie wspomóc w rozwiązaniu?
Zbadać czy poniższe zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Obliczyć miarę Lebesgue’a pod-zbiorów A i B zbioru R. Odpowiedzi uzasadnić powołując się na odpowiednie własności miary Lebesgue’a.
a) \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=0}^{ \infty } (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) }\)
b) \(\displaystyle{ B = \left\{ \frac{1}{2k}, k \in \mathbb{N} \right\} }\)
Jeśli chodzi o a) to wydaje mi się:
\(\displaystyle{ m (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) = \frac{1}{5} }\)
I teraz korzystając z addytywności:
\(\displaystyle{ m(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} = \infty}\)
b)
Wydaje mi się, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem punktowym, więc wiedząc, że miara takiego zbioru jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ m(B) = 0}\). Chodzi mi oczywiście o addytywność, bo gdy zsumuje się miarę zbiorów \(\displaystyle{ B_{i} }\), gdzie każda miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to całość też będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadać czy poniższe zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Obliczyć miarę Lebesgue’a pod-zbiorów A i B zbioru R. Odpowiedzi uzasadnić powołując się na odpowiednie własności miary Lebesgue’a.
a) \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=0}^{ \infty } (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) }\)
b) \(\displaystyle{ B = \left\{ \frac{1}{2k}, k \in \mathbb{N} \right\} }\)
Jeśli chodzi o a) to wydaje mi się:
\(\displaystyle{ m (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) = \frac{1}{5} }\)
I teraz korzystając z addytywności:
\(\displaystyle{ m(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} = \infty}\)
b)
Wydaje mi się, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem punktowym, więc wiedząc, że miara takiego zbioru jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ m(B) = 0}\). Chodzi mi oczywiście o addytywność, bo gdy zsumuje się miarę zbiorów \(\displaystyle{ B_{i} }\), gdzie każda miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to całość też będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).