Jakub Gurak pisze: ↑4 cze 2023, o 15:58To Ty chyba nie wiesz jak jest z rozumieniem matematyki u przeciętnego studenta- rachunki może i dobre, ale rozumienia matematyki to nie mają za grosz.
A ja byłem wyjątkowym studentem (i to według opinii mojej promotor pracy magisterskiej Pani Profesor , niedawno Pani Profesor wystawiła mi taką opinię ), a jednak w takie całkowite abstrakcje to nie wchodzę. Bo SĄ one dla KOSMITÓW.
No cóż, pozostaje pytanie na podstawie jakiej próbki studentów wyciągasz takie wnioski.
Odkryłem wczoraj, że prosta liczb rzeczywistych ma taką niesłychaną własność:
Jeśli można ją pokryć dwoma zbiorami otwartymi (tzn. znaleźć takie zbiory otwarte \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), że \(\displaystyle{ A \cup B= \RR}\)), to można tą prostą pokryć również dwoma zbiorami domkniętymi- i , i to na zbiory mniejsze (czyli tak, aby pierwszy zbiór domknięty zawierał się w pierwszym zbiorze otwartym, i aby drugi zbiór domknięty zawierał się w drugim zbiorze otwartym).
Nie wiem na ile rozumiem dowód tego faktu, nie czuje najlepiej tych pojęć topologicznych, ale:
Zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią jest przestrzenią \(\displaystyle{ T _{4}}\), przestrzenią normalną , a dla przestrzeni normalnych taka własność zachodzi, w myśl zadania z "Zarysu topologii ogólnej " Ryszarda Engelkinga, str. 50, ćwiczenie D.
Mogę to zilustrować, w najprostszych przypadkach:\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Tutaj strzałki pomiędzy dwoma przedziałami oznaczają, że rozważamy sumę tych dwóch zbiorów. \(\displaystyle{ \\}\)
I, podobnie.
Dodam jeszcze, takie zadanie z ważniaka, mówiące, że dwa ciągi \(\displaystyle{ f,g:\NN \rightarrow \QQ}\), takie, że zawsze \(\displaystyle{ f(n)<g(n)}\) mogą leżeć dowolnie blisko siebie (względem odpowiedniej relacji na ciągach liczb wymiernych).
Wystarczy rozważyć ciąg stały \(\displaystyle{ \left( f_n\right)}\), stale równy \(\displaystyle{ 0}\), oraz ciąg \(\displaystyle{ \left( g_n\right)}\), dany jako:
\(\displaystyle{ g(n)= \frac{1}{n+1} \in \QQ}\).
Wtedy, dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, mamy:
i widać, że ciągi \(\displaystyle{ \left( f_n\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( g _{n} \right) }\) leżą dowolnie blisko siebie, formalnie trzeba byłoby to tutaj jeszcze udowodnić, ale może nie będę tego robił (nie lubię takich zabaw z kwantyfikatorami na liczbach), to nie dla mnie, ja jestem miłośnik zbiorów ogólnych.
Ja idę dalej i potrafię prostą pokryć tylko jednym zbiorem otwartym lub domkniętym...
To wprost niesamowite...Od tej pory nic już nie będzie takie jak było...
Ciągle myślę nad tym podanym przeze mnie zadaniem, lubię nietypową matematykę.
Wiem, że w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X,}\) czy może nawet na zwykłej prostej liczb rzeczywistych, wtedy suma przeliczalnie wielu domkniętych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), wtedy suma takich podzbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.
Czy jednak dla podzbiorów prostej, czy suma przeliczalnie wielu rozłącznych odcinków domkniętych na prostej jest zbiorem domkniętym na prostej
Takie pytanie mnie nurtuje, i jest mi tutaj potrzebne.
Jakub Gurak pisze: ↑12 cze 2023, o 14:47Czy jednak dla podzbiorów prostej, czy suma przeliczalnie wielu rozłącznych odcinków domkniętych na prostej jest zbiorem domkniętym na prostej
Pomyśl o ciągu przedziałów \(\displaystyle{ A_n=\left[ \frac{1}{2n+3},\frac{1}{2n+1}\right] }\) i ciągu liczbowym \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2n+2}.}\)
Mała usterka- te zbiory nie są całkowicie rozłączne, są prawie rozłączne (mają jednoelementowe przekroje), przy przedziałach domkniętych trzeba uważać na wspólne końce tych przedziałów.
Ale można to chyba łatwo poprawić:
Dla numeru \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{3n+3}, \frac{1}{3n+1} \right], }\) oraz \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{3n+2}. }\)
Jakub Gurak pisze: ↑12 cze 2023, o 19:01
Mała usterka- te zbiory nie są całkowicie rozłączne, są prawie rozłączne (mają jednoelementowe przekroje), przy przedziałach domkniętych trzeba uważać na wspólne końce tych przedziałów.
Tak się składa, że wiem, ale to miały być inne przedziały:
\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{4n+1}, \frac{1}{4n+3} \right], }\) oraz \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{4n+2}. }\)
Jakub Gurak pisze: ↑12 cze 2023, o 19:01
Dla numeru \(\displaystyle{ n}\) wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ A _{n}=\left[ \frac{1}{3n+3}, \frac{1}{3n+1} \right], }\) oraz \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{3n+2}. }\)
Coś skojarzyłem wczoraj, że zbiór domknięty \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) z każdym ciągiem elementów zbioru \(\displaystyle{ A,}\) zawiera, jako element, jego granicę, tak??
Udowodniłem wczoraj, że dla dowolnej niepustej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest nigdziegęsty, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.
Przypomnijmy ("Zarys topologii ogólnej" Ryszard Engelking, str. 35, tw. 5),
Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\), dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy (mamy, może nie definicję, lecz charakteryzację):
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty w przestrzeni \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\) ,dokładnie wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym zawarty jest pewien niepusty zbiór otwarty rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\).
I, mamy, charakteryzację zbiorów gęstych:
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w przestrzeni \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\), dokładnie wtedy, gdy każdy niepusty zbiór otwarty przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Udowodnię dokładnie przytoczony fakt:
Niech \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\) będzie niepustą przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ A \subset X}\) niech będzie zbiorem nigdziegęstym. Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że w naszej przestrzeni topologicznej istnieje niepusty zbiór otwarty (np. \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\}}\) ), nazwijmy go \(\displaystyle{ B.}\) Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, więc w myśl naszej charakteryzacji istnieje niepusty zbiór otwarty \(\displaystyle{ C \in T}\), zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) i rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ C \cap A =\emptyset,}\) i \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym zbiorem otwartym, a więc, w myśl charakteryzacji zbiorów gęstych: zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty.\(\displaystyle{ \square}\)
Można też łatwo udowodnić ten fakt dowodem nie wprost:
Gdyby zbiór \(\displaystyle{ A}\) był gęsty, to jego domknięcie \(\displaystyle{ \overline{A}}\) byłoby równe: \(\displaystyle{ \overline{A}=X}\).
A ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, więc \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest zbiorem brzegowym, a zatem to domknięcie ma puste wnętrze, czyli:
sprzeczność z założeniem.\(\displaystyle{ \square}\)
Można też łatwo wykazać, że jeśli w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mamy dwie topologię \(\displaystyle{ T_1}\) i \(\displaystyle{ T_2}\), to ich przekrój \(\displaystyle{ T_1 \cap T_2}\)( wspólne zbiory) jest topologią w \(\displaystyle{ X}\), można to bardzo łatwo udowodnić.
Jeśli mamy przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\), to możemy powiedzieć, że zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\), jest domknięty, dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru otwartego, tzn. \(\displaystyle{ B=A'= X \setminus A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in T}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Jeśli zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty, wtedy jego dopełnienie \(\displaystyle{ B'}\) jest zbiorem otwartym, a wtedy \(\displaystyle{ B' \in T}\), i \(\displaystyle{ \left( B'\right)'= B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem zbioru otwartego.
Jeśli zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru otwartego, tzn. \(\displaystyle{ B= A'}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in T}\), to \(\displaystyle{ B' = \left( A'\right)'=A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, czyli dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem otwartym, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty.\(\displaystyle{ \square}\)
Możemy powiedzieć podobnie, że:
Zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otwarty, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru domkniętego w \(\displaystyle{ X.}\)
Gdyż (dla \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy wtedy):
\(\displaystyle{ A}\) jest dopełnieniem pewnego zbioru domkniętego, dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ A= B'}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subset X}\) jest zbiorem domkniętym, a na mocy faktu powyżej, to zachodzi dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ \left( A=B' \hbox{ i gdy } \left( B=C', \hbox{ gdzie } C \in T\right) \right) }\) , a to zachodzi dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ A= B'}\) i \(\displaystyle{ B'= \left( C'\right)'= C}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in T}\), czyli to zachodzi dokładnie wtedy, gdy: \(\displaystyle{ A=C}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in T}\), a \(\displaystyle{ T}\) jest rozważaną topologią w \(\displaystyle{ X}\), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty.\(\displaystyle{ \square}\)
Możemy też powiedzieć, że dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otwarty, dokładnie wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym - można to łatwo udowodnić.
Zauważmy, że dwukropek Sierpińskiego, to dla elementów \(\displaystyle{ a,b}\) różnych \(\displaystyle{ a \neq b}\) jest to przestrzeń topologiczna: \(\displaystyle{ \left( \left\{ a,b\right\}; \left\{ \emptyset;\left\{ a\right\}; \left\{ a,b\right\} \right\} \right);}\)
a para uporządkowana \(\displaystyle{ \left( a,b\right),}\) w sensie Kuratowskiego, jest to: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}; \left\{ a,b\right\} \right\};}\)
możemy zatem powiedzieć, że topologia dwukropka Sierpińskiego jest parą uporządkowaną (w sensie Kuratowskiego) elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , z dodanym zbiorem pustym jako elementem!
Mamy też takie zadanie:
Wykazać, że dla dowolnej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) oraz dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X,}\) mamy (przez \(\displaystyle{ \partial \left( A\right)}\) oznaczam brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\)), mamy:
\(\displaystyle{ Int\left( A\right) = A \setminus \partial (A)}\).
\(\displaystyle{ A \setminus \left( \overline{A} \setminus Int(A)\right) =Int(A)}\),
bo \(\displaystyle{ Int\left( A\right) \subset A \subset \overline{A}.\square}\)
Dodano po 4 dniach 6 godzinach 15 minutach 40 sekundach:
Udowodniłem dzisiaj, że jeżeli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. mamy rodzinę przestrzeni topologicznych na tych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), rodzinę przestrzeni Hausdorffa (\(\displaystyle{ T_2}\)), określonych na zbiorach rozłącznych, to ich suma topologiczna też jest przestrzenią Hausdorffa. Przedstawię teraz formalny dowód tego faktu.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną przestrzeni Hausdorffa na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), na zbiorach rozłącznych, tzn. ma być spełniony warunek:
jeśli \(\displaystyle{ a \in \mathbb{B}}\), to element \(\displaystyle{ a}\) jest postaci \(\displaystyle{ a=\left( Y,T_Y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ Y \subset X}\), a rodzina \(\displaystyle{ T_Y}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest topologią na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), (wtedy para \(\displaystyle{ a}\) jest przestrzenią topologiczną), i załóżmy jeszcze, że każda taka para \(\displaystyle{ a}\) jest przestrzenią Hausdorffa, oraz, załóżmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{L}}\) ( jest to rodzina złożona z lewych współrzędnych par z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), a więc jest to rodzina zbiorów na których określone są te topologię), załóżmy, że jest to rodzina zbiorów rozłącznych, a więc, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne.
Możemy wtedy rozważać sumę topologiczną tych przestrzeni na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), którą oznaczymy jako: \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right)}\). Wykażemy, że taka suma jest przestrzenią Hausdorffa.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup\mathbb{B}_L}\) będą dwoma różnymi elementami tej sumy.
Pokażemy, że takie elementy mają rozłączne otoczenia.
Wtedy \(\displaystyle{ x \in Y_x}\), gdzie \(\displaystyle{ Y_x \in \mathbb{B}_L,}\) i \(\displaystyle{ y \in Y_y}\), gdzie \(\displaystyle{ Y _{y} \in \mathbb{B}_L.}\)
Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przestrzeni Hausdorffa (więc przestrzenie \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) są również przestrzeniami Hausdorffa), a zatem rozważmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}}\): Jeśli \(\displaystyle{ Y_x= Y_y= Y,}\)
to jest to przestrzeń Hausdorffa, więc ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in Y}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\), więc istnieją otoczenia \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) odpowiednich punktów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będące zbiorami rozłącznymi.
Wtedy te zbiory \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) są otwarte w \(\displaystyle{ Y}\).
I wtedy:
zbiór \(\displaystyle{ U_X \cap Y= U_X}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Y}\),
a dla innego zbioru \(\displaystyle{ Y' \in \mathbb{B}_L}\), gdzie \(\displaystyle{ Y' \neq Y \in \mathbb{B}_L}\), więc ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_L}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc zbiory \(\displaystyle{ Y'}\) i \(\displaystyle{ Y}\) muszą być rozłączne; a wtedy:
gdyż zbiory \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Y'}\) są rozłączne.
W takim razie również:
\(\displaystyle{ U_x \cap Y'=\emptyset}\),
i jest to zbiór otwarty w \(\displaystyle{ Y'}\), (bo przecież \(\displaystyle{ Y' \in \mathbb{B}_L}\) jest przestrzenią topologiczną).
Otrzymujemy zatem, (w obydwu przypadkach), że:
zbiór \(\displaystyle{ U_x \cap Z}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Z}\), dla każdego ustalonego zbioru \(\displaystyle{ Z \in \mathbb{B}_L}\),
a zatem, z definicji sumy topologicznej: zbiór \(\displaystyle{ U_x}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right).}\)
W analogiczny sposób udowadniamy, że zbiór \(\displaystyle{ U_y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus \mathbb{B}_L\right).}\)
Mamy ponadto \(\displaystyle{ x \in U_x, y \in U_y}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ U_x}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), zbiór \(\displaystyle{ U_y}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ y,}\) i zbiory \(\displaystyle{ U_x}\) i \(\displaystyle{ U_y}\) są rozłączne, a więc punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają rozłączne otoczenia.
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}: }\) Jeśli \(\displaystyle{ Y_x \neq Y_y}\), to ponieważ \(\displaystyle{ Y_x \in \mathbb{B}_L}\) i \(\displaystyle{ Y_y \in \mathbb{B}_L}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_L}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc zbiory \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) muszą być rozłączne.
Ponieważ \(\displaystyle{ Y _{x} \in \mathbb{B}_L}\), więc łatwo jest pokazać, że: zbiór \(\displaystyle{ Y_x}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_L;}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ Y_y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_L}\) (bo \(\displaystyle{ Y_y \in \mathbb{B} _{L} }\)), a zatem zbiór \(\displaystyle{ Y_x}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), i zbiór \(\displaystyle{ Y_y}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ y,}\) i zbiory \(\displaystyle{ Y_x}\) i \(\displaystyle{ Y_y}\) są rozłączne, a zatem punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają rozłączne otoczenia,
i para \(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}_L, \oplus\mathbb{B}_L \right)}\) jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.\(\displaystyle{ \square}\)
W tej mojej książce wykazano również, że suma topologiczna rodziny podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\)- przestrzeni normalnych (\(\displaystyle{ T_4}\)), wtedy ich suma topologiczna jest również przestrzenią normalną.
Można też łatwo udowodnić, że jeżeli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy rodzinę jego podzbiorów, tzn. rodzinę przestrzeni topologicznych na tych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), na zbiorach rozłącznych, rodzinę przestrzeni dyskretnych, to ich suma topologiczna też jest przestrzenią dyskretną, można to łatwo udowodnić.
Spotkałem dzisiaj takie ciekawe (bo zaskakujące ) zadanie:
Rozważmy dwie kopię zbioru liczb rzeczywistych z naturalną topologią.
Rozważmy płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR \times \RR,}\) oraz dowolne przekształcenie \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR.}\)
Wykazać, że wykres tego przekształcenia \(\displaystyle{ f}\), tzn. zbiór par:
Wątpię. Jako pierwszy kontrprzykład przechodzi mi na myśl jakaś funkcja, która ma gęsty wykres. Gdyby teza była prawdą to \(\displaystyle{ \cl \, f=f}\) i jedocześnie \(\displaystyle{ \cl \, f= \RR^2}\). A potem wziąłem nieciągłą funkcję ze skokiem i dostałem 2 mniej brutalny kontrprzykład. Za to, gdy funkcja jest ciągła to jest to prawda (hint: bo wykres jest pewną poziomicą/przeciwobrazem domkniętego singletonu przez pewną ciągłą funkcję dwóch zmiennych).