Matematyka.pl

Wyznacz dokłądną sume:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(\arccos( \frac{1}{n+1} )-\arccos( \frac{1}{n+3} )).}\)
Wyznaczyłem sobie, że \(\displaystyle{ f(x) = \arccos( \frac{1}{x+1} )}\) i \(\displaystyle{ f(x+2) = \arccos( \frac{1}{x+3} ).}\)
Wiem jak postępować kiedy skok jest jeden, a jak jest np jak tutaj dwa? Jest jakaś ogólna reguła dla takich sum?

Wyznacz wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą sumę częściową, a potem przejdź do granicy.

Można dwa razy zaburzyć sumę:

\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{k=m}^{M}a_k& =a_m-a_{M+1}+ \sum_{k=m}^{M}a_{k+1}\\
&= a_m-a_{M+1}+ a_{m+1}-a_{M+2} + \sum_{k=m}^{M} a_{k+2}.
\end{split}
}\)

Wzór na ogólne teleskopujące się sumy staje się teraz jasny.

Matematyka.pl

Sumy teleskopowe

Sumy teleskopowe

Re: Sumy teleskopowe

Re: Sumy teleskopowe