WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY - TORUŃ
2000 - FINAŁ INDYWIDUALNY - KL. I - II
1. Dany jest trójkąt ABC. Skonstruuj punkty X i Y na bokach AB i BC tak, by |AX| = |BY| oraz odcinki XY i AC były do siebie równoległe.
2. Czy można wewnątrz kwadratu o boku równym a umieścić trójkąt równoboczny o boku tej samej długości tak, by trójkąt nie miał punktów wspólnych z brzegiem kwadratu?
3. Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... , a_{n}}\) będą liczbami naturalnymi, których suma dzieli się przez 30. Uzasadnij, że suma ich 5 - tych potęg też dzieli się przez 30.
4. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ [x] + 1999 {x} = 2000}\)
gdzie [x] - to część całkowita, {x} - część ułamkowa liczby x
5. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ 4 + x^{2}y^{4} + x^{4}y^{2} - 3x^{2}y^{2}}\)
dla \(\displaystyle{ x,y \in\RR}\)
2000 - FINAŁ INDYWIDUALNY - KL. III - V
1. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O. Wiadomo, że pole trójkąta AOB wynosi 4, a pole trójkąta COD - 9. Jaką najmniejszą wartość może mieć pole czworokąta ABCD?
2. Oznaczmy przez an liczbę całkowitą, najbliższą liczbie \(\displaystyle{ sqrt{n}}\), tzn. jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{n} = k + }\); gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN \cup \{0\}}\) i \(\displaystyle{ 0 \leq\alpha < 1}\)
to dla \(\displaystyle{ \alpha > \frac{1}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ a_n = k+1}\).
Oblicz sumę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + s + \frac{1}{a_{2000}}}\)
3. Czy równanie:
\(\displaystyle{ x^{20} + y^{25} = z^{29}}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich?
4. Wyznaczyć zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne x,y spełniają nierówność:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^{2n} - |y|^{n}}{x^{2n} + |y|^{n}}\right) < 0}\)
5. Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem:
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{1 - x + x^2} + \sqrt{2 + x - x^2}}\)
2000 - FINAŁ DRUŻYNOWY - KL. I - II
1. Wyznaczyć zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne x,y spełniają nierówność:
\(\displaystyle{ 2 - x^2 - y^2 - \sqrt{(1-x^2)^2 + (1-y^2)^2} > 0}\)
2. Niech M i N będą środkami boków AB i BC kwadratu ABCD o boku długości a. Odcinki DN i CM przecinają się w punkcie P. Udowodnić, że |AP|=a.
3. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie:
\(\displaystyle{ \underbrace{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ... + \sqrt{x}}}}}_{2000} = y}\)
4. W siedmiokącie wpisanym w okrąg trzy kąty wewnętrzne mają miarę 120 stopni. Pokazać, że siedmiokąt ten ma dwa boki tej samej długości.
2002 - I ETAP - KL. II - III
1. Czy równanie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + ... + x_{2001} = (x_1)(x_2) ... (x_{2001})}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich?
2. Mając dany odcinek o długości 1 skonstruuj przy pomocy cyrkla i linijki odcinek o długości:
\(\displaystyle{ \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\)
3. Ciąg nieskończony składający się z zer i jedynek konstruujemy w następujący sposób: pierwszym wyrazem ciągu jest 0, w każdym następnym kroku, do napisanego już ciągu dopisujemy ciąg tej samej długości otrzymany z początkowego przez zamiane zer na jedynki oraz jedynek na zera. Początkowymi wyrazami ciągu są: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 ... Jaki jest 2001 - wszy wyraz tego ciągu?
4. W każdym polu szachownicy o wymiarach 2002X2002 umieszczono liczbę. Wiadomo, że suma liczb w każdych czterech klatkach, które można przykryć figurą ("umieszczoną na rysunku" - ale nie ma rysunku ... hmmmm.... graliście w tetris kiedyś ??? wiec to klocek taki: do srodkowego z trzech kolejnych klockow doklejony jest jeden obok ), wynosi 4. Pokazać, że w każdym polu umieszczono 1.
5. Udowodnij, że dla rzeczywistych dodatnich x, y, z zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{z^2 + 1} q \sqrt{6(x+y+z)}}\)
6. Znajdź wszystkie trójkąty o bokach będących liczbami całkowitymi, dla których promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 1.
7. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-1}{2}} - \sqrt{\frac{3-x}{2}} = \frac{x^2 - 9}{6x}}\)
8. Po przemnożeniu jednego z rzeczywistych pierwiastków trójmianu \(\displaystyle{ ax^2+bx +b}\) przez jeden pierwiastek trójmianu \(\displaystyle{ ax^2+ax +b}\) otrzymano \(\displaystyle{ 1}\). Znajdź te pierwiastki.
9. Z punktu \(\displaystyle{ M}\) leżącego wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono odcinki \(\displaystyle{ MA_1, MB_1, MC_1}\) prostopadle odpowiednio do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Znaleźć punkt \(\displaystyle{ M}\), dla którego liczba:
\(\displaystyle{ \frac{BC}{MA_1} + \frac{CA}{MB_1} + \frac{AC}{MC_1}}\)
przyjmuje wartość najmniejszą.
10. Niech \(\displaystyle{ CD}\) będzie wysokością trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), natomiast \(\displaystyle{ D_1, D_2}\) rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnij, że miary kątów \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ CD_2D_1}\) są równe.
11. Pokazać, że liczbę
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^{2001}}\)
można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ a\sqrt{3} - b\sqrt{2}}\)
gdzie a,b są liczbami całkowitymi oraz:
\(\displaystyle{ 3a^2 - 2b^2 = 1}\)
12. W czworokącie wpisanym w okrąg, jedna z przekątnych dzieli drugą na połowy. Wykazać, że kwadrat długości tej przekątnej równy jest połowie sumy kwadratów długości boków czworokąta.
2003 - FINAŁ - KL. I
1. Nauczyciel napisał na tablicy dziesięc następujących liczb: 2001, 2002, 2002, 2003, 2003, 2003, 2004, 2004, 2005, 2005 i powiedział uczniom, że otrzymał je obliczając sumy \(\displaystyle{ x_i + x_j}\); \(\displaystyle{ i\ne j}\)
wszystkich dziesięciu par utworzonych ze zbioru liczb:
\(\displaystyle{ \{x_1; x_2; x_3; x_4; x_5\}}\)
Czy potrafisz odtworzyć ten zbiór liczb?
2. Wierzchołki trójkąta równoramiennego mają współrzędne będące liczbami całkowitymi. Udowodnij, że kwadrat długości podstawy jest liczbą parzystą.
3. Niech S(n) oznacza sume liczb liczby naturalnej n. Udowodnij, że jeżeli S(5n) = S(n), to liczba n dzieli się przez 9.
4. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem położonym wewnątrz koła o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\). Niech \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) będą wzajemnie prostopadłymi cięciwami przechodzącymi przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Wiedząc, ze \(\displaystyle{ |OP|=d}\), oblicz \(\displaystyle{ |AB|^2+|CD|^2.}\)
5. Ile jest różnych (nieprzystających) graniastosłupów o podstawie kwadratowej i krawędziach (mierzonych w \(\displaystyle{ cm}\)) o długościach całkowitych, których objętość wynosi tyle \(\displaystyle{ cm^3}\) ile \(\displaystyle{ cm^2}\) mierzy ich pole powierzchni całkowitej?
2004 - ELIMINACJE - KL. I-II
1. W wagonie kolejki podmiejskiej jechało 60 osób. Byli tam: konduktorzy, rewidenci, byli też fałszywi konduktorzy i fałszywi rewidenci. Ogółem fałszywych konduktorów i fałszywych rewidentów było cztery razy mniej niż konduktorów i rewidentów, natomiast prawdziwych i fałszywych konduktorów było 7 razy więcej niż prawdziwych i fałszywych rewidentów. Ilu było w tym wagonie normalnych pasażerów?
2. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{3(x+1)}}\)
3. Podaj przykład luczba naturalnej n takiej, że każda z liczb n, n+1, n+2, ... , n+20 ma wspólny dzielnik większy od 1 z liczbą 30030.
4. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają równość:
max(a,b) + max(c,2003) = min(a,c) + min(b,2004)
Wykaż, że b jest nie mniejsze od c. Podaj przykład a,b,c spełniających tą równość.
5. Czy istnieje taka liczba rzeczywista a, że równanie [x] = ax ma dokładnie 2003 rozwiązania?
6. Skonstruuj ciąg liczb rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \{a_1, a_2, a_3, ... , a_{2003}\}}\) taki, że
\(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2003} > 0}\)
oraz taki, że dla dowolnego
\(\displaystyle{ 1\leq i \leq 2001}\)
spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} < 0}\)
7. Niech \(\displaystyle{ F(x) = x^{2003} - x^{2002} + 1}\). Czy istnieją różne liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2 , a_3 , ... , a_{2004}}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ i \ne j}\) liczba \(\displaystyle{ a_i\cdot a_j}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ F(a_i)\cdot F(a_j)}\)?
8. Dany jest trapez prostokątny ABCD, w którym kąty przy wierzchołkach A i D są proste. Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu, Q - rzutem prostokątnym punktu P na ramie AD. Udowodnij, że kąty CQP i BQP są równe.
9. W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowiedź, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.
10. Na bokach AB i CC dowolnego trójkąta ABC budujemy (na jego zewnątrz) trójkąty równoboczne ABP i BCO. Punkt R jest obrazem punktu B w symetrii środkowej, której środkiem jest środek odcinka OP. Udowodnij, że trójkąt ACR jest równoboczny.
11. W trójkącie ABC kąt A ma miarę 100 stopni. Oznaczmy przez D i E punkty przecięcia dwusiecznych, wychodzących z wierzchołków B i C odpowiednio z przeciwległymi bokami trójkąta. Wiedząc, że |BE| = |CD| podaj miarę pozostałych kątów trójkąta ABC.
12. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono wysokości \(\displaystyle{ AA_1, BB_1, CC_1}\), oraz środkowe \(\displaystyle{ AA_2, BB_2, CC_2}\). Pokaż, że długość łamanej \(\displaystyle{ A_1B_2C_1A_2B_1C_2A_1}\) jest równa obwodowi trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).