Gęstość Einsteinowa :)

[nikolas sert]

Jak policzyć gęstość relatywistyczną ciała, które porusza się z prędkością, która jest dużym ułamkiem prędkości światła np. 200 000 km/s? Konkretnie chodzi mi o porównanie gęstości spoczynkowej i relatywistycznej przy tej prędkości. Nie wiem jak zorbić to przejśćie, bo wzór na gęstość mówi, że Ro=m/v , Ro=gęstość, m-masa, v-objętość. Wzór na masę relatywistyczną można od razu wykorzystać, ale jak pozbyć się tej objętości. Zaznaczam, że nie jest podany kształt czy jakaś inna cecha ciała. Jest tylko prędkość.

[droopy]

skrócenie długości następuje tylko w kierunku ruchu, czyli zmienia się tylko jedna z trzech składowych objętości, czyli jeśli stara objętość była np. a*b*c to w nowej b i c się nie zmieniają tylko samo a

[Nikolas]

Przeiceż napisałem że nie jest podany żaden kształt! Zadanie: Jak zmieni się gęstość ciała w stosunku do gestości spoczynkowej jeśli porusza się ono z prędkością 200 000 km/s.

[droopy]

ale przecież jak zmieni się jedna ze składowych iloczynu to cały iloczyn zmieni się tak samo! więc prawidłowy będzie wzór: \(\displaystyle{ V'=\frac{V_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}}\)

[Nikolas]

A co ma piernik do wiatraka?
Wiem, że wzór na prędkośc, który podałeś jest prawdziwy zawsze i wszędzie, ale mi chodzi o gęstość![/quote]

[droopy]

duże V w tym wzorze oznacza objętość (prędkość ciała oznaczyłem przez małe v, no niestety jest konflikt oznaczeń, ale myślałem, że się pokapujesz....)

a widziałeś taki wzór, tylko z prędkością?? a gdzie?? (bo czegoś takiego nie ma )

[Nikolas]

Fakt, moje niedopatrzenie. Byłem pewien że chodzi o wzór na dodawanie prędkości.
Ale nawet jeśli ten ostatni wzór, który podałeś jest prawdziwy, to ponawiam pytanie:
Co ma piernik do wiatraka?

[droopy]

po pierwsze to przepraszam, pomyliłem się, przecież wzór na długość wygląda tak:
\(\displaystyle{ x'=x_0 sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\)
więc na objętość będzie tak:
\(\displaystyle{ V'=V_0 sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

więc dalej, masz obliczyć gęstość relatywistyczną, jak sam już zauważyłeś \(\displaystyle{ \rho=\frac{m}{V}}\)
więc podstaw sobie pod to wzory na ich relatywistyczne odpowiedniki i wtedy masz:
\(\displaystyle{ \rho=\frac{\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}}{V_0 sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \frac{1}{V_0 sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=\frac{m_0}{V_0} \frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}=\frac{\rho _0}{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

no i teraz to już chyba wszystko jasne

[Nikolas]

Wielkie dzięki!
Chyba jednak nie miałem racji pisząc "co ma piernik do wiatraka?" ops

Tak a propos: jak przekształcić E � do p � c � +m0 � c^4?

Podstawiam:
E=mc � , a więc E � =m � *c^4 = (m0/sqrt(1-(v/c)^2))^2*c^4= m0^2/(1-(v/c)^2)*c^4=
=m0^2*c^4/((c^2-v^2)/c^2)=m0^2*c^4 * c^2/c^2-v^2
Wychodzi na to, że połowa się zgadza (m0^2*c^4). Pozostaje jeszcze druga część , czyli:
czy to prawda, że p^2*c^2 = c^2/c^2-v^2 ? Jak to tego dojść? oczywiście p-pęd, v-prędkość ciała, c=prędkośc światła

[droopy]

wiesz, nie chce mi się tego rozczytywać (bo zapis taki nieprzejżysty)
na górze, na środeczku masz taki czerwony link "instrukcja TeX" - przeczytaj, zastosuj to pomyślimy

[Nikolas]

Dzięki. Już wiem jak to zrobić. Okazuje się, że to jest już na forum.
Pozdrawiam

[lepton]

Takie, tylko małe sprostowanie:

\(\displaystyle{ \rho=(...) =\frac{\rho}{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

a powinno być:
\(\displaystyle{ \rho=(...) =\frac{\rho_0}{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

... bo inaczej byłaby to nierówność i \(\displaystyle{ \rho}\) by się nam skróciło.

[droopy]

no fakt
już poprawiłem