Matematyka.pl

Przy okazji dyskusji na forum pojawił się temat klas abstrakcji i wywołał pewne "concerns" i postanowiliśmy im zaradzić.

Tytułem wstępu: klasa w teorii mnogości jest pojęciem pierwotnym, ale można o nim pogadać...

Na chłopski rozum:

Załóżmy, że o pewnych obiektach (nie nazywajmy ich zbiorem) da się wyrazić zdanie jednoznacznie prawdziwe lub jednoznacznie nieprawdziwe. Każdy obiekt, który czyni zadaść takiemu zdaniu należy do KLASY OBIEKTÓW.

A czy to nie jest zbiór po prostu?

Nie...

Otóż co do zbiorów istnieje ograniczenie pojęcia klasy zwane formułą zdaniową. Formuła zdaniowa to to samo, co przyporządkowanie obiektom klas, ale już wtedy, gdy gdy obiekty te należą do pewnego zbioru...
W przypadku klas, może być tak, że nie istnieje zbiór, który zawiera wszystkie obiekty, które klasyfikujemy do klas...

Dalej nie widać?

OK - wyobraź sobie, że klasa nie jest potrzeba, że zbiór to takie cos, co pozwala na grupowanie obiektów wedle ich własności...

Niech więc tą własnością obiektu będzie... bycie zbiorem....

Jeśli tak, to istnieje taki zbiór - bo klas nie potrzebujemy, że zawiera on wszystkie istniejące zbiory... Ale istnieje widzisz twierdzenie, które mówi, że ilość podzbiorów danego zbioru przewyższa ilość elementów tego zbioru. Skoro zbiór wszystkich zbiorów jest zbiorem, to ma on pewną - nawet może nieskończoną ilość elementów...

Ale w takim razie istnieje zbiór, który zawiera więcej elementów niż jakikolwiek element zbioru wszystkich zbiorów, a zatem zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje...

Wróćmy zatem do klas...

Klasy to ogólniejsze pojęcie niż zbiory. Zbiory określane sa przez formuły zdaniowe, które same mają dziedzinę określoną przez zbiory..., tymczasem klasyfikacja do klas tego ograniczenia nie ma...

I to jest tajemnica...

Napisz "ss" czy to oto chodziło, a zwrócimy uwagę na liczby kardynalne i liczby nieskończone, choć jak sie już domyślasz, liczby kardynalne dokonuja klasyfikacji właśnie, a liczby nieskończone są jedynie wynikiem działania formuł zdaniowych...

Tak – dzięki , teraz trochę lepiej

„a liczby nieskończone są jedynie wynikiem działania formuł zdaniowych...”- czy to znaczy, że nie mogą dokonywać klasyfikacji? I o to właściwie cały czas mi chodziło, ale przedtem tylko czułem to intuicyjnie(względnie było to wynikiem tego co „obyło” mi się o uszy).

Super Staś pozdrawia!!!

No właśnie...
"Kolejne" liczby nieskończone można definiować jedynie za pomocą poprzednich - mniejszych. Zatem formuły zdaniowe, czy po prostu relacje je definiujące mają określoną dziedzinę. A sam podział zbiorów na klasy zakłada po prostu, że taki podział można wykonać. Nie mówi nic więcej.

Dobra teraz mi brakuje wiadomości o liczbach hiperrzeczywistych!(patrz pierwsze zadnie)
Może teraz pociągnij tamten temat (ale jestem ciekawy).
Opowiedz coś więcej o liczbach hiperrzeczywistych! Jeszcze okazji do podyskutowanie na pewno będzie sporo, ale chyba teraz mi nie wystarcza wiadomości aby ją podjąć.

Ekhem, a w hiperrzeczywistych piszesz, że chcesz o liczbach nieskończonych. Dobra, poradzimy sobie... Najpierw skierujemy się tam...

Teraz o tym, dlaczego jest wiele liczb nieskończonych...

Albo inaczej, dlaczego nie ma "skończenie wielu", jeżeli nie jednego typu liczb nieskończonych?

Mógłbym właściwie zrobić w tym miejscu 2 rzeczy:
(1) Udowodnić, że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych
(2) Udowodnić, że zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru /skonczonego czy nie/ jest większej mocy niż zbiór elementów tego zbioru...

Zrobimy to drugie...

Niech A będzie zbiorem, a B liczbą jego podzbiorów wraz z nim samym i zbiorem pustym /bo to też jego podzbiory/.

Każdy element zbioru B sam jest zbiorem, zawierającym elementy zbioru A. Przypuśćmy, że B jest równej mocy z A lub pewnym jego podzbiorem, tj że istnieje pewna reguła, która przyporządkowuje w sposób wzajemnie jednoznaczny elementy zbioru A lub podzbioru A elementom zbioru B, tj. podzbiorom zbioru A:

(1) aS_a,

gdzie przez S_a oznaczamy podzbiór zbioru A, odpowiadający elementowi a zbioru A. Wskazując pewien element zbioru B (tj podzbiór zbioru A), dla którego nie istnieje żaden przyporządkowany mu element a, otrzymamy sprzeczność. Pamiętaj, że o ile dla zbiorów skończonych jest to oczywiste, ale dla nieskończonych nie.

Dla zbudowania tego podzbioru zauważmy, że dla każdego elementu x zbioru A istnieją 2 możliwości: albo zbiór S_x jest przyporządkowany elementowi x wg (1) zaiwra element x, albo nie. Definiujemy T jako podzbiór zbioru A, złożony ze wszstkich tych elementów x, dla których S_x nie zawiera x. Ten podzbiór rózni się od każdego zbioru S_a co najmniej elementem a, jeżeli bowiem S_a zawiera a, to T nie zawiera a, jeżeli S_a nie zawiera a, to T zawiera a. Wobec tego zbiór T nie jest objętyprzyporządkowaniem (1). Dowodzi to, że nie można ustalić odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej pomiędzy elementami zbioru A lub podzbioru A i elementami zbioru B. Zatem na pewno nie jest tak, że A>=B.

Z drugiej strony istnieje taka odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna pomiędzy podzbiorem zbioru B, a elementami a: a mianowicie podzbiór zbioru B to zbiór jednoelementowych podzbiorów A. Zatem na mocy definicji większości pomiędzy liczbami kardynalnymi B>A.

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru - nawet nieskończonego można odnaleźć zbiór o więkdzej mocy.

Pozdrawiam

”Zrobimy to drugie...”- czy to nie jest tw. Cantora?
Ale co Ci to daje przy pokazywaniu, że istnieje nieskończenie wiele liczb w zbiorze H_3

”Niech A będzie zbiorem, a B liczbą jego podzbiorów wraz z nim samym i zbiorem pustym /bo to też jego podzbiory/.”- B chyba jest zbiorem wszystkich podzbiorów, to tak go potem traktujesz.


PS: to juz śmiało możesz potraktować jako przesadę!

Nom, to twierdzenie Cantora w istocie rzeczy...
Tzn. co mi to daje w kontekście H_3?

Dajmy na to, że mamy zbiór o mocy alef 0. To będzie nasz zbiór A. Zbiorem B nazwiemy sobie wszystkie podzbiory liczb naturalnych - a zatem: zbiór pusty, wszystkie skończone podzbiory i całe A. Na podst. twierdzenia Cantora mamy, ze B jest wyższej mocy niż A. Jak się okazuje B jest zbiorem wszystkich funkcji z N->N, a liczba tych funkcji to zbiór liczb rzeczywistych, wszak każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować ciąg liczb naturalnych - rozwinięcie dziesiętne. To jest zbiór o mocy alef 1.

Teraz niech B to zbiór o mocy alef 1, a C oznacza zbiór jego podzbiorów. Znowu tw. Cantora mówi, że C ma większą moc. Jeżeli B określimy jako zbiór liczb rzeczywistych, to C jest liczbą funkcji zmiennej rzeczywistych.
Zatem C ma moc, która jest liczbą kardynalną większą niż B.

Ale dla C też można wyznaczyć zbiór podzbiorów D, itd.

Zatem począwszy od nieskończonego zbioru alef 0, skonstruujemy nieskończony ciąg zbiorów o mocy nieskończonej o coraz większej liczbie kardynalnej...

”Dajmy na to, że mamy zbiór o mocy alef 0. To będzie nasz zbiór A. Zbiorem B nazwiemy sobie wszystkie podzbiory liczb naturalnych - a zatem: zbiór pusty, wszystkie skończone podzbiory i całe A.” nie tylko bo jeszcze zb. Nieskończone o mocy alef 0 np. zb. liczb parzystych

Teraz Cię chyba trochę rozumiem, ale mi chodzi o to żebyś nie jako bezpośrednio(jeśli się da) pokazał jaką moc ma H_3. tak jak się pokazuje ładnie, że R ma moc continuum(to się raczej definiuje, ale tak czy inaczej pokazuje się, że moc R jest większa od N) możesz sobie na razie darować pokazywanie jak ma się moc H_3 do alef 0 czy tym bardziej continuum, pokaż mi jakoś tak bezpośrednio że jest ich nieskończenie wiele.
(naturalnie rozumiem że H_1~H_3 odwzorowanie jest chyba oczywiste
(nawet z tym nieszczęsnym zerem można sobie poradzić J) )

Ekhem /kaszlnięcie/

Rozróżnijmy dwie rzeczy...

Jedna to moc zbiorów... Ona nie ma nic wspólnego z H_3, po prostu jest wiele różnych zbiorów nieskończonych i nie można opliczyć ile różnych jest...

Druga to H_3 w rozszerzeniu hiperrzeczywistych... Bo ciągle nie rozumiałem, o co Ci chodzi a teraz łapię... Skąd się w ogóle wzięło H_3?
Zauważamy, że są to odwrtotności liczb nieskończenie małych. Teraz dalej: liczby nieskończenie małe, pomimo, że jest ich nieskończenie wiele, to NIE JEST ich więcej niż LICZB RZECZYWISTYCH... Dlaczego. Na podstawie, że jeżeli a,b"e"H_1, to a+b, a*b też należy do H_1. Mówiłem o tej mikroskopowej interpretacji. Ona dowodzi, że liczb należacych do H_1 jest alef 1. Zatem także liczb należących do H_3 jest alef 1. One nie tworzą jakby teoriomnogościowo kolejnych, wyższych zbiorów, bo nie mogą, one się mieszczą w R^2, nobo każdej skończonej z R można przyporządkować alef 1 liczb z H_1 i tworzy się H. Stąd moc liczb H to alef 1, ale R*R=R. I to pokazuje, że liczb H_3 jest alef 1. I słusznie, odwzorowanie nawet z zerem jest dopuszczalne...

Pozdrawiam

Nie no super rozumiem, ale może jeszcze inaczej skąd wiemy że nie istnieje np. jedna liczba nieskończenie wielka i jej odwrotność, czyli liczba nieskończenie mała(różna od zera).
Np. jak by była tylko jedna to mamy a”e” H_3 zatem 1/a”e”H_1
I wszystko by hulało tak jak mówisz, ale bez działań na dwóch liczbach ze zb. H_1 lub H_3 ? Zero nawet jak byśmy zaliczali do H_1 to by nam nie wadziło. Pokaż że tych liczb jest więcej. O to mi cały czas chodzi.
Bo przecież a*b =a*c gdzie a”e” H_3(względnie H_1) i c,b”e” H_2- no chyba że nie!?

PS ale to chyba temat raczej na l. hiperreals

Aha... nie no, Ty się już mnie wówczas ZROZUM MNIE uważnie - pytasz o pewne rozumowanie dot. klas abstrakcji w H_1 i H_3 - i wtedy jest po 1 klasie abstrakcji: dla H_1 bycie "nieskończenie małym" jest tym samym co dla H_3 jest być nieskończenie dużym. Zatem jest po 1 klasie abstrakcji - na tej podstawie jest cała analiza w hiperreals. Ale zarówno H_1 jak i H_3 jest alef 1, bo jest, bo nie może być inaczej - nie potrafiliśmy interpretować rozszerzenia bez wiedzy, ze jest ich alef 1...

Pozdrawiam

czyli co to jest aksjomat?
bez sensu jak mam to przyjąć na wiarę???

@ss:
niech a "e" H_1
dla kazdego x "e" H_2 istnieje ax = b "e" H_1
zatem jest suriekcja miedzy H_1 i H_2 czyli jest mocy continnum

a dlaczego
ax nie jest równe a?