Matematyka.pl

Rozwiazywalem ostatnio nierówność : \(\displaystyle{ \left| \frac{2}{\left|x \right| }-1 \right| < 3}\) a oto moja próba rozwiązania: D: \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Zgodnie z zasadą: Jeśli \(\displaystyle{ P>0, \left|x \right| < P \Leftrightarrow x>-P \wedge x<P}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\left|x \right| } - 1 > -3 \wedge \frac{2}{\left|x \right| } -1 <3}\)
Następnie opuszczam war.bez. z mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x} - 1 > -3 \vee \frac{2}{-x} - 1 > -3 \wedge \frac{2}{x} - 1 < 3 \vee \frac{2}{-x} < 3}\). Mnożę obie strony każdej nierówności przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i wyznaczam zbiory x a są one następujące: \(\displaystyle{ 1.\times \in (- \infty ;-1) \cup (0; \infty ) 2. \times \in (- \infty ;0) \cup (1; \infty ) 3. \times \in (- \infty ;0) \cup ( \frac{1}{2}; \infty ) 4. \times \in (- \infty ;- \frac{1}{2}) \cup (0; \infty )}\) Po uwzględnieniu wszystkich tych zbiorów wychodzi mi wynik: \(\displaystyle{ \times \in (- \infty ;-1) \cup (1; \infty )}\) a prawidłowa odp. to: \(\displaystyle{ \times \in (- \infty ; -\frac{1}{2}) \cup ( \frac{1}{2}; \infty )}\). Co robię źle?

Błędy w \(\displaystyle{ \vee \wedge}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{x} - 1 > -3 \vee \frac{2}{-x} - 1 > -3 \wedge \frac{2}{x} - 1 < 3 \vee \frac{2}{-x} < 3}\)

tutaj jeden błąd, w poniższej sumie zbiorów już dwa ( m.in. zamieniłeś \(\displaystyle{ \wedge}\) na \(\displaystyle{ \cup}\). )
Oczywiście warto byłoby jeszcze w pewnych miejscach dorobić nawiasy ...

Ja to ogólnie proponowałbym zupełnie inne podejście bez rozbijania na aż cztery nierówności wymierne...
\(\displaystyle{ \frac{2}{\left|x \right| } - 1 > -3 \wedge \frac{2}{\left|x \right| } -1 <3}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{\left| x\right| }>-2 \wedge \frac{2}{\left| x\right| }<4}\)
Pierwsza nierówność zachodzi dla całej dziedziny.
Zajmijmy się drugą
\(\displaystyle{ \frac{2}{\left| x\right| }- \frac{4\left| x\right| }{\left| x\right| }<0}\)
Równoważnie
\(\displaystyle{ \left| x\right| (2-4\left| x\right| )<0}\)
Możemy teraz podzielić przez \(\displaystyle{ \left| x\right|}\) bez zmiany znaku(bo dla całej dziedziny wartość jest dodatnia)
\(\displaystyle{ 2-4\left| x\right|<0}\)
teraz już łatwo

Zahion, tzn. gdzie konkretnie są te błędy? Tych znaków imo wszystko trochę tam jest. A co do zmiany znaku \(\displaystyle{ \wedge na \cup}\) to to raczej nie jest bląd? Tego drugiego używamy do przedziałów a tego drugiego przy równościach i nierównościach.

\(\displaystyle{ \wedge}\) - i, a \(\displaystyle{ \vee}\) - lub

Widać więc, że jeżeli mamy \(\displaystyle{ \wedge}\) to x musi być w obydwu zbiorach, czyli potrzebujesz \(\displaystyle{ \cap}\) - część wspólną

Zapisałbym, też wszystkie przedziały w odpowiedni sposób:

\(\displaystyle{ (1. \cup 2.) \cap (3. \cup 4.)}\)

Tak samo w znakach logicznych. Jest tak ponieważ na początku masz dwie nierówności, które zachodzą razem czyli mamy sytuację \(\displaystyle{ p \wedge q}\), a p i q rozbijamy na alternatywy dwóch zdarzeń

Ale przecież ja wykonałem tak jak mówisz i wychodzi kompletnie coś innego niż jest w odp. A konkretnie to: \(\displaystyle{ \times \in R \setminus \left\{-1,- \frac{1}{2},0 \frac{1}{2}, 1 \right\}}\) Wynik wydał mi się tak absurdalny, że zacząłem zmieniać znaki aż uzyskałem wynik który podałem na wstępie.

Sounes pisze: Następnie opuszczam war.bez. z mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x} - 1 > -3 \vee \frac{2}{-x} - 1 > -3 \wedge \frac{2}{x} - 1 < 3 \vee \frac{2}{-x} < 3}\).

,,Opuszczać" możesz pod pewnymi warunkami - kompletnie nie wiadomo co Ty tutaj robisz.

Proponuję metodę jaką podał kmarciniak1 (też końcówkę skomplikował - ale to nieistotne).

Odpowiedź którą podajesz w ostatnim (i Twoja z pierwszego) jest zła.

Prawidłowa ta na końcu pierwszego posta.

piasek101 pisze:

Sounes pisze: Następnie opuszczam war.bez. z mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x} - 1 > -3 \vee \frac{2}{-x} - 1 > -3 \wedge \frac{2}{x} - 1 < 3 \vee \frac{2}{-x} < 3}\).

,,Opuszczać" możesz pod pewnymi warunkami - kompletnie nie wiadomo co Ty tutaj robisz.
Odpowiedź którą podajesz w ostatnim (i Twoja z pierwszego) jest zła.
Prawidłowa ta na końcu pierwszego posta.

Skorzystałem tutaj tylko z własności war.bez. czyli: \(\displaystyle{ \left|x \right| = \begin{cases} x,gdy x \ge 0\\ -x,gdy x<0 \end{cases}}\) Więc po prostu rozpatrywałem przypadki w obu nierównościach kiedy x jest dodatnie i ujemny. A myślę, że mogłem tak zrobić gdyż dziedzina to:\(\displaystyle{ \times \in R \setminus \left\{0 \right\}}\) Czy ktoś mógłby po prostu rozwiązać tą nierówność tym sposobem? myślę, że tak będzie prościej i czytelniej dla wszystkich.

Pokaż w którym miejscu skorzystałeś z tej definicji wartości bezwzględnej.Bo szczerze mówiąc to ja nie widzę...

PS
Oczywiście polecam spojrzeć na mój post wyżej i zrobić tą metodą

Okay, już to zrobiłem. Błąd polegał na tym, że nie uwzględniłem warunków wychodzących z definicji war.bez. Po ich uwzględnieniu wychodzi wynik prawidłowy.