Matematyka.pl

Witam, poszukuję informacji na temat Twierdzenia Petrovica i do czego jest ono konkretnie wykorzystywane. Bylbym bardzo wdzięczny za pomoc w znalezieniu materiałów.
Pozdrawiam.

A co to za twierdzenie? W książce Kuczmy z równań funkcyjnych jest nierówność Petrovica.

Jest również taka nierówność dla funkcji wypukłych:

O niej to myślałem. Ma ona pewien związek z nadaddytywnością. Załóżmy nie wchodząc w szczegóły ze \(\displaystyle{ f (0)=0}\)...

Tak, chodzi właśnie o tą nierówność, przepraszam za wprowadzenie w błąd. Nie rozumiem w jakim celu lub do czego się ją stosuje, mógłbym prosić o jakieś materiały lub wytłumaczenie?

No to już masz...

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest prosto. Masz \(\displaystyle{ x=\frac{y}{x+y}\cdot 0+\frac{x}{x+y}\cdot(x+y)}\) i z wypukłości jest \(\displaystyle{ f(x)\le\frac{y}{x+y}f(0)+\frac{x}{x+y}f(x+y).}\) Zapisując podobną nierówność (symetria)

\(\displaystyle{ f(y)\le\frac{x}{x+y}f(0)+\frac{y}{x+y}f(x+y)}\)

i dodając obie stronami mamy \(\displaystyle{ f(x)+f(y)\le f(0)+f(x+y).}\)

Reszta pójdzie przez indukcję. To niemal widoczne. Wyjdź od\(\displaystyle{ f(x_1)+\dots+f(x_n)+f(x_{n+1})}\) a potem zastosuj założenie indukcyjne do wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_1)+\dots+f(x_n)}\), a następnie początek indukcji czyli nierówność dla dwóch składników do wyrażenia postaci \(\displaystyle{ f(x_1+\dots+x_n)+f(x_{n+1}).}\)

Ale ja tego Wrighta pokazałem przecież. A skoro już o tym mowa, polecam (nie Tobie, stary wygo ) zapoznanie się z nierównością Lima.