Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli kwadrat jest podzielony na czworokąty o rozłącznych wnętrzach to choć jeden z nich jest wypukły.

Sprawa jest prosta a mianowicie, jak założymy, że można pokryć kwadrat wielokątami wklęsłymi to i będzie ich np. \(\displaystyle{ n}\) to idąc za ciosem
suma kątów w tych czworokątach wklęsłych będzie: \(\displaystyle{ 360^0n}\) Jeżeli teraz weźmiemy wierzchołki czworokątów w których jest ten kąt wklęsły to kąt do niego "przystający, dopełniający" też będzie z jakiegoś wielokąta ale będzie to kąt wypukły a suma dookoła wiadomo, że będzie \(\displaystyle{ 360^0}\) a sumując wszystkie wielokąty suma wyniesie: \(\displaystyle{ 360^0n}\) wiadomo, że zostanie jeszcze \(\displaystyle{ 2n}\) kątów wypukłych, których suma miar przekroczy zero stopni , a więc wychodzi, że sumamiar wszystkich kątów w czworokącie przekroczy \(\displaystyle{ 360^0n}\) co jest nieprawdą...
A więc nie da się kwadratu pokryć samymi wielokątami wklęsłymi, i tu słowo kwadrat można zastąpić słowem wielokąt wypukły bo raczej nie korzystałem z tego, że jest to kwadrat...

Oczywiście np sześciokątami wklęsłymi lub pięciokątami można pokryć wielokąt wypukły...