\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n-1} \right) ^{n(n+1)}}\)
Pomoże ktoś? Naprowadzi?
Zbadaj zbieżność szeregu.
-
gusia1025
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 gru 2014, o 15:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Zbadaj zbieżność szeregu.
Właśnie w tym problem, że nie potrafię tego zrobić. Wyszło mi \(\displaystyle{ e^{2n}}\) Możliwe to?
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Zbadaj zbieżność szeregu.
Liczymy granice wyrazu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1+2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\cdot\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\right]^{\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}}=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{2n(n+1)}{n-1}}}=
\lim_{n\to\infty}\left(e^{\frac{n+1}{n-1}}\right)^{2n}=
\lim_{n\to\infty} e^{2n}=\infty}\)
no i problem zbieżności znika.
Rozpisałem to tak krok po kroku, żeby wszystko było jasne.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1+2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\cdot\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\right]^{\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}}=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{2n(n+1)}{n-1}}}=
\lim_{n\to\infty}\left(e^{\frac{n+1}{n-1}}\right)^{2n}=
\lim_{n\to\infty} e^{2n}=\infty}\)
no i problem zbieżności znika.
Rozpisałem to tak krok po kroku, żeby wszystko było jasne.