Matematyka.pl

Witam!
Mam tutaj zadanie, w którym dochodzę do pewnego momentu i mam problem.

Treść:
Dla jakich \(\displaystyle{ x}\) liczby \(\displaystyle{ x^4+x^2+x , 3x^2 , x^4+x^2+x}\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny?

No i tutaj próbowałem na różne sposoby, starałem się coś wykombinować żeby nie badać tego co powstanie ze wzoru na trzy kolejne wyrazy ciągu, ale na nic nie wpadłem. Zacząłem więc robić z tych trzech kolejnych wyrazów:

\(\displaystyle{ (3x^2)^2=(x^4+x^2+x)^2}\) -> akurat coś takiego, nawet ładnego wyszło.
Liczę, liczę i w pewnym momencie dochodzę do takiej postaci równania wielomianowego:
\(\displaystyle{ x^2(x-1)(x^5+x^4+3x^3+5x^2-3x-1)=0}\)
Problemem okazuje się ten ostatni składnik tego równania. Nie da się tego pogrupować (przynajmniej ja nie widzę), ani wyznaczyć miejsca zerowego żadną znaną mi metodą. Wiem, że ten wielomian ma trzy rozwiązania (bo sobie sprawdziłem jak wygląda jego wykres). Rozwiązania te nie są "ładne", ponieważ wyglądają coś w stylu \(\displaystyle{ 0,6227}\)

Moje pytanie to:
Jak rozwiązać ten nieszczęsny wielomian? Może ja się gdzieś pomyliłem?

Chyba się gdzieś pomyliłeś, nie wierzę, że należy rozłożyć taki paskudny wielomian.

A czy w treści nie ma błędu? Serio pierwszy i trzeci wyraz mają być takie same? To przecież wtedy iloraz od razu musi być równy \(\displaystyle{ \pm 1}\), ponieważ dla ilorazu o wartości bezwzględnej różnej od jedynki moduły wyrazów się zmieniają (rosną bądź maleją, w zależności czy wartość bezwzględna ilorazu przekracza \(\displaystyle{ 1}\), czy jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\)).

Też mi się wydaje, że w treści zadania jest błąd, ale uwierz mi sprawdzałem moje obliczenia już chyba z 5 razy i ciągle dochodzę do tego wielomianu.
Dodatkowo pierwsze dwa rozwiązania \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) się zgadzają.

Ogólnie to po zastosowaniu wzoru na trzy kolejne wyrazy ciągu dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x^8+2x^6+2x^5-8x^4+2x^3+x^2=0}\)
I od tego zaczynam rozkładanie i szukanie rozwiązań. Dochodzę do tamtego wielomianu.

// Wydaje mi się, że powinno być cokolwiek innego za pierwszy lub trzeci wyraz, np. taka \(\displaystyle{ 9}\), bo wtedy bardzo ładnie się rozkłada. Ale jak wspomniałem, również podejrzewam błąd w treści.

Premislav pisze:A czy w treści nie ma błędu? Serio pierwszy i trzeci wyraz mają być takie same? To przecież wtedy iloraz od razu musi być równy \(\displaystyle{ \pm 1}\),

Może właśnie o to chodzi, żeby to zauważyć?

Falwack pisze:\(\displaystyle{ (3x^2)^2=(x^4+x^2+x)^2}\) -> akurat coś takiego, nawet ładnego wyszło.
Liczę, liczę i w pewnym momencie dochodzę do takiej postaci równania wielomianowego:
\(\displaystyle{ x^2(x-1)(x^5+x^4+3x^3+5x^2-3x-1)=0}\)

Naprawdę podnosiłeś obie strony do kwadratu?

JK

No to akurat nie był zbyt duży problem, żeby to podnieść do kwadratu. W całym tym zadaniu jest to chyba jedna z najłatwiejszych części.
Co do wielomianu po znaku równości, skorzystałem po prostu z czegoś takiego: \(\displaystyle{ [(x^4+x^2)+x]^2}\)

Próbowałem znaleźć inne rozwiązanie, które nie wymaga zabawy z takimi potęgami, ale nic nie wymyśliłem.

Falwack pisze:No to akurat nie był zbyt duży problem, żeby to podnieść do kwadratu. W całym tym zadaniu jest to chyba jedna z najłatwiejszych części.

To raczej najprostszy sposób w tym zadaniu, żeby utrudnić sobie życie... Wystarczyło przenieść na jedną stronę i skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.

JK

Ten wielomian piątego stopnia ma bardzo ładne rozwiązania (złoty wielomian jest jednym z jego czynników )

A co do rozwiązania:

\(\displaystyle{ 1.}\) i \(\displaystyle{ 3.}\) wyraz są takie same, stąd \(\displaystyle{ q = \pm 1}\) lub \(\displaystyle{ q =0}\)

1. \(\displaystyle{ q = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\) to chyba oczywiste

2. \(\displaystyle{ q = 1}\)

\(\displaystyle{ x^4+x^2+x = 3x^2\\
x^4-2x^2+x = 0\\
x(x^3-2x+1) = 0\\
x(x-1)(x+\phi)(x-\frac{1}{\phi}) = 0\\
x = 0 \vee x=1 \vee x = \phi \vee x = \frac{1}{\phi}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) - złoty podział

3. \(\displaystyle{ q=-1}\)

\(\displaystyle{ x^4+x^2+x=-3x^2\\
x^4+4x^2+x=0\\
x(x^3+4x+1)=0}\)

No i dopiero tutaj pojawia się problem, ten wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty do znalezienia z wzorów Cardano. No ładniej się kurka nie da. Pewnie błąd w treści

To raczej najprostszy sposób w tym zadaniu, żeby utrudnić sobie życie... Wystarczyło przenieść na jedną stronę i skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.

Dobrze, no nie zauważyłem na początku. Fakt, z tego powstają dwa kolejne rozwiązania, ale dalej jest do rozwiązania wielomian \(\displaystyle{ x^3+4x+1}\)

Daj sobie spokój z tą siłką. Nikt nie będzie wymagał od Ciebie rozwiązywania równań trzeciego stopnia bez pierwiastków wymiernych/pierwiastków, które łatwo zauważyć dzięki grupowaniu. A jak już koniecznie chcesz, to: zapraszam!

Coś mi się udało wyklecić z tych wzorów Cardano, ale to po prostu podstawiłem sobie do gotowego wzoru.

Akurat to nie jest hmm "moje" zadanie, tylko ze szkoły jednej z osób, której udzielam korepetycji. Zszokowało mnie lekko, że na teście z ciągów i potęg dali jej coś takiego, zważając, że jest w 2 klasie LO.

Niemniej jednak dla samej satysfakcji postanowiłem się z tym pobawić, ale jak już nie miałem pomysłów i jak głupi nie zauważyłem tego wzoru skróconego mnożenia, postanowiłem tu napisać z prośbą o pomoc.

Niemniej jednak, dziękuję bardzo za pomoc