ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - GRANICE
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)
1. Obliczyć granicę ciągu: \(\displaystyle{ a_n=\frac{2^n}{3^n}}\).
2. Granica:
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=x^x}\).
3. Obliczanie granicy bez reguły de l'Hospitala.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{\tg \left(x^{400}-1\right)}{\sin \left(x-1\right)}}\)
4. Obliczanie granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^{-n}a\cos n\pi}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin n!}{n^2+1}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}}\)
5. Obliczanie granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n^2+n}}{n+2}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{\sqrt{n^2-1}}-n-1}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{\sqrt[3]{n^3+2n^2}}-n}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}{\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}-1}}\).
6. Obliczyć nie korzystając z reguły de l'hospitala granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{\sin \left(\pi x^{a}\right)}{\sin \left(\pi x^{b}\right)}}\)
7. Obliczanie granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)^n}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{n}\right)^{-n+3}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2 +2}{2n^2 +1}\right)^{n^2}}\).
8. Obliczanie granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2^x+1}{3^x+2}}\).
9. Granica ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n \sin n}{n^{2}+1}}\).
10. Obliczanie granic funkcji bez użycia reguły de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left( \sqrt{x^2+2}-x \right)}\),
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} e^{x+\sin ^2x}}\).
11. Obliczanie granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{1 - {\sqrt{x}}}{{2} -\sqrt{x +3}}}\).
12. Obliczanie granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\sqrt[x]{1+\sin x}}\).
13. Granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-2}}\).
14. Pokazać z definicji, że granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(-1\right)^n}\) nie istnieje.
15. Obliczanie granic::
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{n+5}\right)^{2n}}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n-3}-\sqrt{n+1}\right)}\),
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt{3^n+2^n+5^n}}\).
16. Granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2n-7}}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki