Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia dokładnie \(\displaystyle{ 1000}\) reszek w \(\displaystyle{ 2000}\) rzutów symetryczną monetą. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2001} }>p> \frac{1}{2 \sqrt{10001} } }\).

Wiadomo, że \(\displaystyle{ p= \frac{{2000 \choose 1000} }{2^{2000}} }\), ale jak to szacować, aby wykazać powyższe?

Dodano po 2 dniach 23 godzinach 38 minutach 32 sekundach:
Czy może mi ktoś z tym pomóc? Chyba trudne to jest.

może indukcja i szacowanie \(\displaystyle{ \frac{{2n \choose n}}{4^n}}\)...

Aha no faktycznie, dzięki za pomysł. To w takim razie przez indukcję udowodnię ogólniejszy fakt, a mianowicie, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2n+1} }> \frac{ {2n \choose n} }{4^n}> \frac{1}{2 \sqrt{10n+1} } }\)

Najpierw ta lewa. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}< \frac{1}{ \sqrt{3} } }\) czyli prawda.
Dalej załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2k+1} }> \frac{ {2k \choose k} }{4^k}}\) i spróbujmy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2(k+1)+1} }> \frac{ {2k+2 \choose k+1} }{4^{k+1}} }\).

Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ 4^k> {2k \choose k} \sqrt{2k+1} }\), zatem mamy \(\displaystyle{ \frac{4 \cdot 4^k}{ \sqrt{2k+3} }> \frac{4 {2k \choose k} \sqrt{2k+1} }{ \sqrt{2k+3} } }\). Jeśli teraz uda nam się pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4 {2k \choose k} \sqrt{2k+1} }{ \sqrt{2k+3} } > {2k+2 \choose k+1} }\) to dowód będzie zakończony. Przekształcajmy tą nierówność równoważnie:
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{ \frac{2k+1}{2k+3} } \frac{(2k)!}{k!k!}> \frac{(2k+2)!}{((k+1)!)^2} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{2k+1}(k+1)^2> \sqrt{2k+3}(2k+1)(2k+2) \Leftrightarrow }\) dzieląc przez dwa i podnosząc obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ (4k^4+8k^3+4k^2+8k^3+16k^2+8k+4k^2+8k+4)(2k+1)>(4k^4+6k^3+2k^2+6k^3+9k^2+3k+2k^2+3k+1)(2k+3) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (4k^4+16k^3+24k^2+16k+4)(2k+1)>(4k^4+12k^3+13k^2+6k+1)(2k+3) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 8k^5+32k^4+48k^3+32k^2+8k+4k^4+16k^3+24k^2+16k+4>8k^5+24k^4+26k^3+12k^2+2k+12k^4+36k^3+39k^2+18k+3 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 8k^5+36k^4+64k^3+56k^2+24k+4>8k^5+36k^4+62k^3+51k^2+20k+3 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 2k^3+5k^2+4k+1>0}\) i to jest prawda dla każdego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego, zatem lewa nierówność została udowodniona.

Teraz prawa. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}> \frac{1}{2 \sqrt{11} } }\) czyli prawda.
Dalej załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ {2k \choose k} }{4^k}> \frac{1}{2 \sqrt{10k+1} } }\) i spróbujmy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{ {2k+2 \choose k+1} }{4^{k+1}}> \frac{1}{2 \sqrt{10k+11} } }\).

Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ 4^k< {2k \choose k} \cdot 2 \sqrt{10k+1} }\), zatem mamy \(\displaystyle{ \frac{4^{k+1}}{2 \sqrt{10k+11} }< \frac{4 {2k \choose k} \cdot 2\sqrt{10k+1} }{2 \sqrt{10k+11} } }\). Jeśli teraz uda nam się pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4 {2k \choose k} \cdot 2\sqrt{10k+1} }{2 \sqrt{10k+11} } < {2k+2 \choose k+1} }\) to dowód będzie zakończony. Przekształcając tą nierówność równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \frac{4(2k)!}{k!k!} \sqrt{10k+1}< \frac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!} \sqrt{10k+11} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 4(k+1)^2 \sqrt{10k+1}<(2k+1)(2k+2) \sqrt{10k+11} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (4k^2+8k+4) \sqrt{10k+1}<(4k^2+6k+2) \sqrt{10k+11} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (16k^4+32k^3+16k^2+32k^3+64k^2+32k+16k^2+32k+16)(10k+1)<(16k^4+24k^3+8k^2+24k^3+36k^2+12k+8k^2+12k+4)(10k+11) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (16k^4+64k^3+96k^2+64k+16)(10k+1)<(16k^4+48k^3+54k^2+24k+4)(10k+11) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 160k^5+640k^4+960k^3+640k^2+160k+16k^4+64k^3+96k^2+64k+16<160k^5+480k^4+540k^3+240k^2+40k+176k^4+528k^3+594k^2+264k+44 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 656k^4+1024k^3+736k^2+224k+16<656k^4+1068k^3+834k^2+304k+44 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 44k^3+98k^2+80k+28>0}\) i to jest prawda dla każdego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego, zatem prawa nierówność została udowodniona.

Czy tak jest dobrze?

Dodano po 18 godzinach 26 minutach 54 sekundach:
Czy może ktoś to potwierdzić albo zaprzeczyć?