Jak obliczyć pole powierzchni płata wyciętego z powierzchni o równaniu:
\(\displaystyle{ z=1-x^{2}-y^{2}}\)
przez płaszczyzny:
\(\displaystyle{ z=-1}\) oraz \(\displaystyle{ z=-3}\)?
Będzie to fragment powierzchni bocznej pomiędzy kołami \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} \le 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}\le4}\) wraz z polem tych kół?
Proszę o pomoc w zamianie tego na całkę.
Powierzchnia bryły
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7934
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Powierzchnia bryły
Tak, jest to fragment powierzchni paraboloidy kolowej zawarty między dwoma powierzchniami kół: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \leq 2 }\) i \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \leq 3. }\)
Proponuję wprowadzić współrzędne biegunowe i całkować po pierścieniu \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\sqrt{2}, \sqrt{3}). }\)
Element powierzchniowy paraboloidy we współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ dS = \sqrt{1 + 4 r^2} dr d\phi }\)
Pole powierzchni płata \(\displaystyle{ P }\) paraboloidy obliczamy całką powierzchniową - niezorientowaną (nieskierowaną):
\(\displaystyle{ P = \iint_{D} \sqrt{1 +\left(\frac{\partial z}{ \partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dS =
\iint_{D} \sqrt{1 +4(x^2+ y^2)} dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 4 r^2} r dr d \phi \ \ ... }\)
Proponuję wprowadzić współrzędne biegunowe i całkować po pierścieniu \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\sqrt{2}, \sqrt{3}). }\)
Element powierzchniowy paraboloidy we współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ dS = \sqrt{1 + 4 r^2} dr d\phi }\)
Pole powierzchni płata \(\displaystyle{ P }\) paraboloidy obliczamy całką powierzchniową - niezorientowaną (nieskierowaną):
\(\displaystyle{ P = \iint_{D} \sqrt{1 +\left(\frac{\partial z}{ \partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dS =
\iint_{D} \sqrt{1 +4(x^2+ y^2)} dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 4 r^2} r dr d \phi \ \ ... }\)