Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Mamy równanie różniczkowe jednorodne liniowe \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia. Wiadomo, że \(\displaystyle{ y(x)}\) jest rozwiązaniem tego równania w pewnym przedziale \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ y(x_{0})=0,y'(x_{0})=0,...,y^{n-1}(x_{0})=0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0}\in X}\). Nie pamiętam dlaczego \(\displaystyle{ y(x)=0}\) w tym przedziale. Ktoś podpowie?
-
- Użytkownik
- Posty: 987
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 75 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
To jest chyba całkiem oczywiste, i nawet bez używania matematyki:
jeśli wszystkie pochodne są zerowe, no to nie ma pola do jakiejkolwiek zmiany, czyli wtedy:
\(\displaystyle{ y(x_0) = y(x) = const}\)
jeśli wszystkie pochodne są zerowe, no to nie ma pola do jakiejkolwiek zmiany, czyli wtedy:
\(\displaystyle{ y(x_0) = y(x) = const}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10253
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2375 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Nieprawda, na ogół z równości \(\displaystyle{ y(x_0) = \ldots = y^{(n-1)}(x_0) = 0}\) nie wynika, że funkcja jest zerowa - kontrprzykładem jest \(\displaystyle{ y(x) = (x-x_0)^n}\). Implikacja nie zachodzi nawet wtedy, gdy założy się że \(\displaystyle{ y^{(k)}(x_0) = 0}\) dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ k}\).
Odnośnie pytania - opisane równanie różniczkowe wraz z warunkami początkowymi określającymi wartości \(\displaystyle{ y(x_0), \ldots, y^{(n-1)}(x_0)}\) ma jednoznaczne rozwiązanie. Gdy wszystkie te warunki są zerowe, to takim rozwiązaniem jest funkcja zerowa - z jednoznaczności wynika więc, że tylko ona.
-
- Użytkownik
- Posty: 22273
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3764 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Nie gdyba. Zna parę elementarnych przykładów.
Z zerowania wszystkich pochodnych wynika, że funkcją jest baaardzo płaska koło zera, i pewnie niedużo więcej.
Z zerowania wszystkich pochodnych wynika, że funkcją jest baaardzo płaska koło zera, i pewnie niedużo więcej.
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Ok. Rozumiem. Zerowa funkcja na pewno spełnia dany warunek początkowy. Więc gdyby jakaś niezerowa go też spełniała, to mamy sprzeczność z jednoznacznością.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10253
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2375 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Jeśli masz jakieś zastrzeżenia do wskazania błędu w Twojej odpowiedzi, to poproszę konkretniej. Na razie Twoje pytania mają niewiele wspólnego z tym, jak się dyskutuje o matematyce.
-
- Użytkownik
- Posty: 987
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 75 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
a co za problem?
dowolną funkcję możesz rozwinąć w szereg typu:
\(\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + (x-x_0) f'(x_0) + (x-x_0)^2/2 f''(x_0) + ... }\)
i teraz masz podane, że wszystkie pochodne są zerowe: \(\displaystyle{ f^n(x_0)=0}\)
no i co z tego wyjdzie?
a podstaw sobie i sprawdź.
dowolną funkcję możesz rozwinąć w szereg typu:
\(\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + (x-x_0) f'(x_0) + (x-x_0)^2/2 f''(x_0) + ... }\)
i teraz masz podane, że wszystkie pochodne są zerowe: \(\displaystyle{ f^n(x_0)=0}\)
no i co z tego wyjdzie?
a podstaw sobie i sprawdź.
-
- Użytkownik
- Posty: 987
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 75 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Marne żarty... ten wasz przykład:
\(\displaystyle{ f(x) = (x-a)^n = (a-a)^n + (x-a)*0 + ... 0 + (x-a)^n/n! * n! = f(x)}\)
ostatnia pochodna nie jest zerowa, niestety.
\(\displaystyle{ f(x) = (x-a)^n = (a-a)^n + (x-a)*0 + ... 0 + (x-a)^n/n! * n! = f(x)}\)
ostatnia pochodna nie jest zerowa, niestety.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10253
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2375 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Ale o czym Ty w ogóle piszesz?
Założeniem wyjściowego zadania jest to, że pochodne funkcji do \(\displaystyle{ n-1}\) włącznie zerują się w ustalonym punkcie. Jeśli twierdzisz, że wynika stąd zerowość tej funkcji, to nie masz racji - vide kontrprzykład \(\displaystyle{ (x-x_0)^n}\). Jeśli zaś twierdzisz, że z zerowania się wszystkich pochodnych funkcji w ustalonym punkcie wynika jej zerowość, to nie tylko nie masz racji, ale też piszesz nie na temat, bo nie takie było założenie wyjściowego zadania.
Kontrprzykładem zaś na drugą tezę jest niezerowa funkcja gładka:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \le 0, \\ e^{-\frac{1}{x}} & \text{dla } x > 0, \end{cases}}\)
której wszystkie pochodne w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 0}\) są zerowe.
Założeniem wyjściowego zadania jest to, że pochodne funkcji do \(\displaystyle{ n-1}\) włącznie zerują się w ustalonym punkcie. Jeśli twierdzisz, że wynika stąd zerowość tej funkcji, to nie masz racji - vide kontrprzykład \(\displaystyle{ (x-x_0)^n}\). Jeśli zaś twierdzisz, że z zerowania się wszystkich pochodnych funkcji w ustalonym punkcie wynika jej zerowość, to nie tylko nie masz racji, ale też piszesz nie na temat, bo nie takie było założenie wyjściowego zadania.
Kontrprzykładem zaś na drugą tezę jest niezerowa funkcja gładka:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \le 0, \\ e^{-\frac{1}{x}} & \text{dla } x > 0, \end{cases}}\)
której wszystkie pochodne w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 0}\) są zerowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 987
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 75 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
zatem to jest bzdura, bo n-1 to nie wszystkie.
bardzo zaawansowany kontrprzykład do tej hipotezy:
\(\displaystyle{ x = a + (x-a) * 1 = a + x - a = x <> 0}\)
Dodano po 6 minutach 9 sekundach:
a ten twój kontr jest fałszywy, oczywiście, bo 1/x nie ma pochodnych w 0...
bardzo zaawansowany kontrprzykład do tej hipotezy:
\(\displaystyle{ x = a + (x-a) * 1 = a + x - a = x <> 0}\)
Dodano po 6 minutach 9 sekundach:
a ten twój kontr jest fałszywy, oczywiście, bo 1/x nie ma pochodnych w 0...
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4104
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1408 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
Bredzisz od rzeczy. Istnieją funkcje wszędzie różniczkowalne dowolną liczbę razy i wszędzie nie rozwijalne w szereg. Szereg nie musi zbiegać do wartości funkcji.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fabius_function
Fabius function to jest najbardziej brutalny przykład na pokazanie, że to co mówisz pod rzędnym kontem nie ma sensu, choć wcześniej podane przez Dasia11 przykłady też doskonale to pokazują. Zobacz na Wiki artykuł Non-analytic smooth function, gdzie masz to policzone. Ani liczba pochodnych nie ma znaczenia ani punkt.
W tym zadaniu kluczowa jest jednoznaczność rozwiania. Taką jednoznaczność mamy, choćby z twierdzenia
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem
Picarda–Lindelöfa dla układów (bo jednorodne liniowe \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia jest równoważne z pewnym układem), choć pewnie w tak prostych przypadkach jednoznaczności można pokazać nawet i bez twierdzeń.
Na tej wypowiedzi powinieneś był poprzestać. Bo to jest dobra (fizyczna) intuicja o ile jednoznaczność rozważania jest. Więc najpierw należało zorientować się, że rozwiązanie jest dokładnie jedno. A ponieważ nie działają w takim układnie, żadne siły, prędkości, przyspieszenia itp. sprawy, to ze względu na zerowe warunki początkowym intuicyjnie czujemy, że w stanie zerowym układ pozostanie.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3848
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Rozwiązanie zerowe równania różniczkowego
A jaki to ma związek z funkcją Dasio11? Oprócz tego, że gdzieś tam widnieje \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)... Wkraczasz w obszar wiedzy, w którym na twoje nieszczęście podstawowa wiedza z rachunku różniczkowego a'la polibuda nie wystarczy.